三角形角平分線的夾角怎麼算？分幾種情況？有固定公式嗎？

三角形角平分線的夾角分三種情況：內角平分線的夾角、內角平分線和外角平分線的夾角、外角平分線的夾角。

（1）內角平分線的夾角：

∠D=90°+1/2∠BAC

∠D=90°+1/2∠BAC

：△ABC中，BD、CD分別為∠ABC和∠ACB的平分線。

已知

：∠D=90°+1/2∠BAC。

求證

：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB（已知）

∴∠DBC=1/2∠ABC，∠DCB=1/2∠ACB（角平分線定義）

∴∠DBC+∠DCB=1/2（∠ABC+∠ACB）（等量代換）

∴∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）（三角形內角和定理）

=180°-1/2（∠ABC+∠ACB）（等量代換）

=180°-1/2（180°-∠A）（三角形內角和定理）

=90°+1/2∠A（等式運算）

證明

（2）內角平分線和外角平分線的夾角：∠E=1/2∠A

：∠ACD為△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD。

已知

：∠E=1/2∠A。

求證

：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD（已知）

∴∠EBC=1/2∠ABC，∠ECD=1/2∠ACD（角平分線定義）

∴∠E=∠ECD-∠EBC（三角形外角的性質）

=1/2（∠ACD-∠ABC）（等量代換）

=1/2∠A（三角形外角的性質）

證明

（3）外角平分線的夾角：∠F=90°-1/2∠A

：AF、CF分別為△ABC的外角∠EAC、∠ACD的平分線。

已知

：∠F=90°-1/2∠A

求證

：∵∠EAC=∠B+∠ACB，∠ACD=∠B+∠BAC（三角形外角的性質）

∴∠EAC+∠ACD=∠B+∠ACB+∠B+∠BAC（等量代換）

=180°+∠B（三角形內角和定理）

∵AF平分∠EAC，CF平分∠ACD（已知）

∴∠FAC=1/2∠EAC，∠FCA=1/2∠ACD（角平分線定義）

∴∠F=180°-（∠FAC+∠FCA）（三角形內角和定理）

=180°-1/2（∠EAC+∠ACD）（等量代換）

=180°-1/2（180°+∠B）（等量代換）

=90°-1/2∠B（等式運算）

巧記

證明

內交=直角+半形

外交=直角-半形

拓展

以上三種圖是最常見的，事實上只要是角平分線所在直線的夾角都符合結論。