利用基本圖形法解決共邊定理問題

利用基本圖形法解決共邊定理問題

基本圖形法解決共邊定理問題

閱讀以下材料，並按要求完成相應的任務

古希數學家就幾里得將早期許多沒有聯絡和未予嚴謹證明的定理加以整理，寫下

（

幾何原本

）

一書，使幾何學成為一座建在邏輯推理基礎上的不朽豐碑，歐幾里得先擺出公理、公設、定義，然後由簡單到複雜有條不紊地證明一系列命題，其中有一個定理如下：

閱讀與思考

設直線

AB

與

PQ

交於點

M

，則有

S

△

PAB

： S

△

QAB

=PM

： QM

。

下面是該定理的部分證明過程：

證明：如圖，過點

P

作

PC

⊥

AB

於點

C

，過點

Q

作

QD

⊥

AB

於點

D

則∠

PCM=

∠

QDM=90

°

又∵∠

PMC=

∠

QMD

，

∴△

PCM

∽△

QDM

，

任務：

（1）

小明認為上述過程不能形成完整的證明體系，提出瞭如圖

2

所示的情況，請你按照以上證明思路，完成剩餘的證明。

（2）

如圖③，在△

ABC

中，點

D

、

E

、

F

分別在邊

BC

、

CA

、

AB

上，且

CD=3BD

，

AE=3CE

，

BF=3AF

，

AD

與

BE

相交於點

G

，

BE

與

CF

相交於點

H

，

CF

與

AD

相交於點

I

，若△

ABC

的面積為

1

，則△

CH

的面積為

。

共邊定理：

對頂三角形和共角三角形：△

PCM

∽△

QDM

共邊三角形：△

PAB

和△

QAB

共邊三角形：△

ABG

和△

CBG

對頂三角形：△

AUE

∽△

CVE

（

k=3：1

）

共邊三角形：△

ABG

和△

ACG

對頂三角形：△

CXD

∽△

BWD

（

k=3：1

）

共邊三角形：△

ABG

和△

ACG

、

共邊三角形：△

ABG

和△

CBG

基本圖形：

對頂三角形的相似；共角三角形的相似；共邊三角形的面積與高線的關係；

解：（

1

）證明：

如圖，過點

P

作

PC

⊥

AB

於點

C

，過點

Q

作

QD

⊥

AB

於點

D

則∠

PCM=

∠

QDM=90

°

又∵∠

PMC=

∠

QMD

∴△

PCM

∽△

QDM

（

2

）如圖

，

連線

CG

。

由共邊定理可知

：

S

△

ABG

=3S

△

CBG

，

S

△

ACG

=3S

△

ABG

，

又∵

S

△

ABG

+ S

△

CBG

+ S

△

ACG

= S

△

ABC

=1

，

總結：

知識點考查：

設直線

AB

與

PQ

交於點

M

，則有

S

△

PAB

： S

△

QAB

=PM

： QM

。

共邊定理：