高中數學：全體集合！學習集合——集合之間的關係

上一篇講到了集合的定義、集合的表示方法、集合的分類和常見的集合、集合與元素之間的關係，本篇將接著學習集合之間的關係。

一、子集

我們知道：實數包括有理數和無理數，有理數包括整數和分數，整數包括自然數和負數。他們之間的關係如下圖：

那麼，怎麼去描述這種關係呢？我們引入包含和子集的概念。

定義2.1

如果集合A中所有元素都屬於集合B，那麼稱集合A包含於集合B，或者稱集合B包含集合A，記作AB，集合A也被稱為集合B的一個子集。

反之，如果集合A中存在某一個元素不屬於集合B，那麼稱集合A不包含於集合B，記作AB。

上圖中，A和B都包含於U，都是U的子集，記作AU，BU；而A和B互相不包含，記作AB，BA。

定義

2.2

如果集合A中所有元素都屬於集合B，且集合B中存在某一個元素不屬於集合A，也就是AB且BA，那麼稱集合A為集合B的真子集，記作AB，讀作A真包含於B。

上圖中A和B都真包含於U，記作AU，BU；

幾個常見集合的關係為：正整數集N*自然數集N整數集Z有理數Q實數R

而如果AB且BA，那麼集合A和集合B相等，記作A=B。

性質2.1

集合包含具有以下幾個性質：

傳遞性：如果AB，BC，那麼AC，真包含同樣適用；

自身性：AA，集合A是本身的一個子集，但不是真子集；

定義空集是所有集合的子集，是所有非空集合的真子集。

一個集合的元素個數為n，那麼該集合具有2n個子集。