“懸鏈線”到底是什麼鬼

兩手抓住一根均勻鏈子的兩端，讓其自然下垂，問它是何種曲線？很多人認為是拋物線。其實這是錯誤。實質是懸鏈線 （Catenary），一種曲線。

懸鏈線，即一根質量不可忽略、彈性可視為零、兩端自由懸掛的繩或鏈，在重力作用下下垂彎曲形成的曲線。

我們對懸鏈線的直觀認識無處不在，從空閒的晾衣繩、農家風格的粗繩欄杆，到懸索橋中跨的主纜、掛著水珠的蜘蛛網、兩根電線杆之間的電線等等，都有著相似的曲線形態，這優美的對稱曲線強烈取悅著我們的眼球。

適當選擇座標系後，懸鏈線的方程是一個雙曲餘弦函式，其標準方程為：y=a cosh（x/a），其中，a為曲線頂點到橫座標軸的距離。

帶水滴的蜘蛛網

01

達芬奇不僅是義大利的著名畫家，他畫的《蒙娜麗莎》帶給了世界永恆的微笑，而且他還是數學家、物理學家和機械工程師，他學識淵博，多才多藝，幾乎在每個領域都有他的貢獻，他還是數學上第一個使用加、減符號的人，他甚至認為：“在科學上，凡是用不上數學的地方，凡是與數學沒有交融的地方，都是不可靠的”。

他本人在創作《蒙娜麗莎》時，認真地研究了主人公的心理，做了各種精確的數學計算，來確定人物的比例結構，以及半身人像與背景間關係的構圖問題。當我們欣賞著他的《抱銀貂的女人》中脖頸上懸掛的黑色珍珠項鍊時，我們注意的是項鍊與女人相互映襯的美與光澤，而不會像達芬奇那樣去苦苦思索這樣一個問題：固定項鍊的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那麼項鍊所形成的曲線是什麼？

這就是著名的懸鏈線問題，達芬奇還沒有找到答案就去世了。

02

從外表上看，懸鏈線真的很像拋物線。荷蘭物理學家惠更斯用物理方法證明了這條曲線不是拋物線，但到底是什麼，他一時也求不出來。直到幾十年後，雅各布·伯努利再次提出這個問題。

與達芬奇的時代時隔170年，1690年，瑞士數學家雅各布·伯努利在一篇論文中提出了確定懸鏈線性質（即方程）的問題。實際上，該問題存在多年且一直被人研究。伽利略就曾推測過懸鏈線是一條拋物線，但問題一直懸而未決。雅各布覺得，應用奇妙的微積分新方法也許可以解決這一問題。

但遺憾的是，面對這個苦惱的難題，他沒有絲毫進展。一年後，雅各布的努力還是沒有結果，可他卻懊惱地看到他的弟弟約翰·伯努利（JohannesBernoulli，1667—1748）發表了這個問題的正確答案。而自命不凡的約翰，卻幾乎不可能算是一個謙和的勝利者，因為他後來回憶說：

我哥哥的努力沒有成功；而我卻幸運得很，因為我發現了全面解開這道難題的技巧（我這樣說並非自誇，我為什麼要隱瞞真相呢？）……沒錯，為研究這道題，我整整一晚沒有休息……不過第二天早晨，我就滿懷欣喜地去見哥哥，他還在苦思這道難題，但毫無進展。他像伽利略一樣，始終以為懸鏈線是一條拋物線。停下！停下！我對他說，不要再折磨自己去證明懸鏈線是拋物線了，因為這是完全錯誤的。

可笑的是，約翰成功地解出這道難題，僅僅犧牲了“整整一晚”的休息時間，當時年僅24歲。而雅各布卻已經與這道題持續搏鬥了整整一年，這實在是一種“奇恥大辱”。

具體微積分解懸鏈線分析如下：

現有一根細繩自然下垂，取對稱軸為y軸（此處x軸如何選定並不會對推導過程造成太大影響）。細繩的線密度為ρ，重力加速度為g。

從水平與豎直兩個方向分析：豎直方向由於重力作用，繩中張力的垂直分力並不處處相等，而是從最低處起增加；水平方向無重力作用，因此繩中張力的水平分力處處相等。設張力的水平分力為T。

取繩上橫座標為x的點進行受力分析。張力的走勢與此處的切線相同，張力的垂直分力為此點下方繩的重力，水平分力為T。而繩的質量等於線密度乘繩長，m=ρl。

對於函式圖線的長度，我們有公式：

因此，不難寫出方程：f‘（x）=mg/T，進一步改寫成：

兩邊求導，得：

將f（x）導函式轉移至等號同側，得：

兩邊積分，得：

接下來進入重要環節：查閱導數與積分表，發現（arcsinhx）’=1/√（1+x），於是方程寫為：

進一步求解：

再查閱導數與積分表，發現（coshx）‘=sinhx，（sinhx）’=coshx，對等號左右積分得：

由於我們選取對稱軸為y軸，在x=0處切線水平，f‘（0）=0，得出sinhC1=0，C1=0。

對於C2，並沒有限制條件，因此可以取任意值。為了美觀，不妨令C2=0，因此懸鏈線方程（函式）為：

它非常簡潔美觀，和道家所認同的“大道至簡”相符。

令人驚喜地是，德國數學家萊布尼茨、荷蘭天文學家克里斯蒂安·惠更斯（Christiaan Huygens，1629—1695）於1691年分別獨立地給出了問題的解。

03

值得說明的是，懸鏈線的函式是雙曲三角函式。或者更準確地說，雙曲三角函式的影象是懸鏈線。

而合理的曲線形態與荷載有關。如下圖所示，沿跨度投影方向均布的豎向荷載作用下，合理形狀是二次拋物線。在沿著構件單元長度均布的荷載下，是懸鏈線。在沿著曲線法線的均布荷載下，合理形狀則是圓弧 （想象一下肥皂泡）。

連線A、B兩點的曲線y=f（x）繞x軸旋轉，側面積最小者必為懸鏈線y=achx/a（a≠0），即懸鏈面是僅有的極小旋轉曲面。

有趣的是，它們時常以看似“相反”的形式出現。比如，美國聖路易斯的傑斐遜紀念拱門，主要豎向荷載是拱的自重，因此它的合理形狀是懸鏈線。而我們常見的懸索橋，主要荷載是沿跨度方向均布的橋面，它的形狀反而是拋物線。

傑斐遜紀念拱門，高 192 米：懸鏈線拱

上個世紀60年代以來，西方橋樑建築中出現了先進的懸鏈線形拱橋，可為堅不可摧。 日本2011年3月1日，“東日本大地震”中許多建築由於懸鏈線的設計而倖免於倒塌。可以說連建築學也與e攀上親戚，這的確令人驚歎不已。而更令人驚歎的是，在我國江南水鄉浙江紹興，橋樑建築史家已經發現了兩座近似懸鏈線形的清代石拱橋，中國古代橋樑建築技術之高超，由此可見一斑。

舊金山金門大橋：拋物線形狀的懸索

實際上，拋物線和懸鏈線的形狀差別並不大。對於能承受一定彎矩的剛性結構來說，這種差別帶來的影響不大。但對於零彎矩的柔性結構，形態尤為重要。初始的形態偏離越多，載入後的形變越大。