虛設零點，巧轉換：速解導數壓軸題中極值不定型難題！衝刺清北

機率密度函式幾何意義

導數壓軸題中極值不定型題目是近幾年高考題的高頻題型，解題中如果採用設而不求的方法，巧妙轉換，可以極大降低解題過程，攻克題目難點。

​經典例題

：

已知函式f（x）=ax^2-ax-xlnx，且f（x）≥0。

（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）證明：f（x）存在唯一的極大值點x0，且e^（-2）

思路探求

：用導數來研究函式的極值的問題，有兩種情況，一種是極值點可以順利求並計算出極值；另一種是極值點不定，不能準確求出，但可用零點存在性定理的端點值來證明其存在，並根據極值點的取值範圍來討論極值的範圍。本題屬於極值點不可求型。問題真正的難點在於，如何透過極大值點的範圍、極大值點滿足的方程來求得極大值的範圍。

解析

：

（Ⅰ）簡解：由f（1）=0，可將條件f（x）≥0轉化為f（x）≥f（1），即x=1是f（x）的極小值點，故f′（1）=0，解得a=1。再證明f（x）=x^2-x-xlnx≥f（1）=0即可。

（Ⅱ）證明：f（x）=x^2-x-xlnx，f′（x）=2x-2-lnx，x>0。

令h（x）=2x-2-lnx，則h′（x）=2-1/x，

由h′（x）=0得x=1/2。

當0

當x>1/2時，h′（x）>0，h（x）單調遞增。

因為h（e^（-2））=2e^（-2）>0，h（1/2）<0=h（1），所以h（x）在區間（0，1/2）內有唯一零點x0，在區間（1/2，+∞）內有唯一零點x0，且當x∈（0，x0）時，h（x）>0；當x∈（x0，1）時，h（x）<0；當x∈（1，+∞）時，h（x）>0。

因為f′（x）=h（x），所以x=x0是f（x）的唯一極大值點。

由f′（x0）=0得lnx0=2（x0-1），故f（x0）=x0（1-x0），由x0∈（0，1/2）得f（x0）<1/4。

因為x=x0是f（x）在區間（0，1）內的最大值點，

由e^（-1）∈（0，1），f′（e^（-1））≠0得f（x0）>f（e^（-1））=e^（-2）。

所以e^（-2）

總結

：本題的解題思路比較簡單明確。但是，具體的計算過程並不容易：極大值點滿足的方程f′（x）=2x-2-lnx=0是超越方程，具體的值是求不出來的，而後面的極大值計算也涉及初等函式——對數計算，所以透過對lnx代換的方式，大大降低了極大值的計算難度。這種設而不求、整體代換的思想在高中數學中也是一種比較重要的方法。

另外，題中函式f（x）=x（ax-a-lnx）包含g（x）=lnx-ax-b型函式。實際上，g（x）=lnx-ax-b就是lnx的泰勒展開式的一部分，我們可以從lnx的泰勒展開式中得到一些更加精細的不等式，運用“兩邊夾”法則求解引數的值。