四種方法計算√200的近似值

直接上乾貨：

※。線性穿插法計算近似值

設√200=x，並找與之最近的兩個完全平方數，有：

√196=14，

√200=x，

√225=15，用線性穿插得：

（200-196）/（225-200）=（x-14）/（15-x）

4（15-x）=25（x-14）

29x=410

x=410/29≈14。1379。

※。微分法計算近似值

∵dy=f‘（x）dx，f（x）=√x，

∴dy=dx/（2√x）

對於本題有：

√200-√196=（200-196）/（2√196）

√200=√196+4/（2*14）

√200=14+1/7

≈14。1428。

※。極限法計算近似值

原理為當x趨近無窮小時，有（1±x）^a≈1±ax，其中a為不為1的常數。

對於本題：

√200=√（196+4）

√200=√［196（1+4/196）］

=14√（1+4/196）

=14*［1+4/（2*196）］

=14+1/7

≈14。1428。

※。泰勒展開式計算近似值

∵f（x）=f（x0）/0！+f’（x0）（x-x0）/1！+f“（x0）（x-x0）^2/2！+O（x^3）

∴f（x）=f（x0）+f‘（x0）（x-x0）+f”（x0）（x-x0）^2/2+O（x^3）

其中O（x^3）表示x的三次無窮小。

對於本題冪函式y=f（x）=√x，有：

f’（x）=（1/2）x^（-1/2），f“（x）=-（1/4）x^（-3/2）。

即：

f（x）≈f（x0）+（1/2）x0^（-1/2）（x-x0）-（1/8）x0^（-3/2）*（x-x0）^2。

對於本題，x=200，x0=196，x-x0=4，代入得：

√200

≈√196+（2/1）*196^（-1/2）

-（1/8）*4^2*196^（-3/2）

≈14+（2/1）*14^（-1）-（1/8）*4^2*14^（-3）

≈14+1/7-4^2/（8*14^3）

即：

√200≈14。1421。