小升初銜接｜小升初數學：複雜的雞兔同籠和同餘問題

57÷7餘數是多少

複雜的雞兔同籠問題專題訓練

一、知識要點和基本方法

1．雞兔同籠的基本問題是：已知雞、兔總頭數和總腳數，求雞、兔各有多少隻．

（1）解決雞兔同籠問題的方法通常是用假設法，解題思路是：

先假設籠子裡裝的全是雞，根據雞兔的總數就可以算出在假設下共有幾隻腳，把這樣得到的腳數與題中給出的腳數相比較，看看差多少，每差2只腳就說明有1只兔，將所差的腳數除以2，就可以算出共有多少隻兔．

（2）解決雞兔同籠問題的基本關係式是：

雞數=（兔腳數×總頭數-總腳數）÷（兔腳數-雞腳數）．

兔數=（總腳數-雞腳數×總頭數）÷（兔腳數-雞腳數）．

注意，這兩個基本關係式不必都用，用其中一個算出兔數或雞數，又知總數，所以另一個也就知道了．

2．雞兔同籠問題的變型有兩類：

（1）將雞、兔的總頭數和總腳數中的“兩數之和”變成“兩數之差”，這樣得到三種情況：

已知雞、兔頭數之差和總腳數，求雞兔各有多少隻；

已知雞、兔腳數之差和總頭數，求雞兔各有多少隻；

已知雞、兔頭數之差和腳數之差，求雞兔各有多少隻．

（2）將基本問題中同籠的是雞、兔兩種不同東西，還可以引伸到同籠中不同東西是三種，四種等等．

注意：雞兔同籠問題的兩種變型均可轉化成基本問題來解決．

二、例題精講

例1

、在同一個籠子中，有若干只雞和兔，從籠子上看有40個頭，從籠子下數有130只腳，那麼這個籠子中裝有兔、雞各多少隻？

分析：題目中給出了雞、兔共有40只，如果把兔子的兩隻前腳用繩子捆起來，看作是一隻腳，兩隻後腳也捆起來，也看成是一隻腳，那麼兔子就成了2只腳（即把兔子都當成兩隻腳的雞）．雞兔總的腳數是40×2=80（只）比題中所說的130只要少

130-80=50（只）．

現在鬆開一隻兔子腳上的繩子，總的腳數就會增加2，即80+2=82．再鬆開一隻兔子腳上的繩子，總的腳數又增加2，即82+2=84，…一直繼續下去，直至增加到50．因此，兔子數是

50÷2=25（只）．

實際上，這就是上述基本關係式（2）．

解：（130-40×2）÷（4-2）=（130-80）÷2=50÷2=25（只）．

40-25=15（只）．

答：籠子中有兔子25只，有雞15只．

例2、

蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀，現在這三種小蟲共21只，有140條腿和24對翅膀，求每種小蟲各幾隻？

分析：此題中出現了3種昆蟲，不僅有腿的比較，而且又出現了翅膀，顯然比例1複雜了．解此題的關鍵就是將3種昆蟲轉化為2種昆蟲，這樣解起來就比較容易了．

突破口在於：蟬和蜻蜓都有6條腿．

解：因為蜻蜓和蟬都有6條腿，所以從腿的數目考慮，可以把昆蟲分成“8條腿”和“6條腿”兩種，利用基本關係式算出8條腿的

蜘蛛數=（140-6×21）÷（8-6）=（140-126）÷2=14÷2=7（只）．

因此，知道了6條腿的昆蟲共有21-7=14（只），

也就是蜻蜓和蟬共有14只．因為蜻蜓和蟬共有24對翅膀，現在再用一次基本關係式，得

蟬數=（14×2-24）÷（2-1）=（28-24）÷1=4（只）．

因此，蜻蜓數是14-4=10（只）．

答：有7只蜘蛛，4只蟬，10只蜻蜓．

例3

、雞與兔共40只，雞的腳數比兔的腳數少70，問雞與兔各多少隻？

解：假設再補上70只雞腳，也就是再有雞70÷2=35（只），則雞與兔的腳數就相等，兔的腳數是雞的腳數4÷2=2（倍）．於是雞的只數是兔的只數的2倍．

因此，兔的只數是（40+70÷2）÷（2+1）=25（只），

雞的只數是40-25=15（只）．

答：雞15只，兔25只．

例4、

在一個停車場上，停放的車輛（汽車和三輪摩托車）數恰好是24．其中每輛汽車有四個輪子，每輛摩托車有三個輪子．這些車共有86個輪子．那麼，三輪摩托車有多少輛？

分析：我們可將汽車“看作兔子”，將三輪摩托車“看作雞”，輪子“看作腿”，就可用雞兔同籠的原理來解此題．

解：24輛車如果都算作汽車，那麼將有24×4=96（個）輪子．比現有的86個多10個輪子．每一輛三輪摩托車比每一輛汽車少一個輪子，故要有10輛三輪摩托車來抵消10個輪子．

答：共有10輛三輪摩托車．

公式套用：若用基本關係式，雞數=（兔腳數×總頭數-總腳數）÷（兔腳數-雞腳數）

“翻譯”為摩托車車輛數計算公式（這裡將摩托車看作“雞”）：

摩托車數=（汽車輪子數×車輛總數-輪子總數）÷（汽車輪子數-摩托車輪子數），

即有摩托車數：（4×24-86）÷（4-3）=10（輛）．

三、專題特訓

1．有一首民謠：“一隊獵手一隊狗，二隊並著一起走，數頭一共三百六，數腿一共八百九。”問民謠中有多少個獵手和多少條狗？

2．用1元錢買4分、8分、1角的郵票共15張，問最多可以買1角的郵票多少張？

3．春風小學3名同學去參加數學競賽，共10道題，答對一道題得10分，答錯一道倒扣3分，不做得0分，這3名同學都做了所有題．小明得了87分，小紅得了74分，小華得了9分．問他們三人一共答對了多少題？

4．某班同學外出春遊，買車票99張，共花280元，其中單程每張2元，往返每張4元，問單程票與往返票相差幾張？

5．某商場為招攬顧客舉辦購物抽獎，獎金有三種：一等獎1000元，二等獎250元，三等獎50元，共有100人中獎，獎金總額為9500元．問其中二等獎有多少名？

6．有一堆硬幣，面值為1分、2分、5分三種，其中1分硬幣個數是2分硬幣個數的11倍，已知這堆硬幣面值總和是1元，問5分的硬幣有多少個？

7．箱子裡有紅、白兩種顏色的玻璃球．紅球數是白球數的3倍多2個．每次從箱子裡取出7只白球，15只紅球．若經過若干次取球以後，箱子裡剩下3只白球，53只紅球．那麼箱子裡原有紅球多少隻？

8．甲、乙二人射擊，若命中，甲得4分，乙得5分，若不中甲失2分，乙失3分，每人各射10發，共命中14發，結算分數時，甲比乙多10分，問甲、乙各中幾發？

9．姣姣和甜甜兩位同學進行數學比賽，商定算對一題給20分，錯一題扣12分．姣姣和甜甜各算了10道題，兩人共得208分，姣姣比甜甜多得64分，問姣姣和甜甜各算對了多少道題？

10．某種考試已舉行了24次，共出了426題，每次出的題數有25道，或者16道，或者20道，那麼，其中考25題的有多少次？

參考答案

1．獵手有275人，狗有85人。

2．最多可買1角郵票6張。

3．共答對了20道。

解：三人共得87+74+9=170（分），比滿分少300-170=130（分），因此3人共做錯130÷（10+3）=10（道）所以，共答對30-10=20（題）。

4．單程票比往返票多17張。

解：設99張均為往返票，應花99×4=396（元），比實際多花396-280=116（元） ．因一張往返票比一張單程票多2元，所以單程票116÷2=58（張），往返票有99-58=41（張），兩者相差17張。

5．二等獎13名。

設都是三等獎，獎金就多下9500-50×100=4500（元），一個一等獎要增加1000-50=950（元），一個二等獎要增加250-50=200（元）。因此

950×一等獎個數+200×二等獎個數=4500（元）。

很明顯一等獎個數是偶數，2，4，6，…。6×950＞4500。4×950餘下的錢就不能被200整除，因此一等獎個數只能是2。

二等獎個數是

（4500－950×2）÷200=13（個）。

6．有5分硬幣7個。

設2分硬幣x個，則1分硬幣11x個；1元＝100分，則100－（2x＋11x）能被5整除，試驗可知當x＝5時，符合要求。那麼，100－（2x＋11x）＝100－65＝35（分）。35÷5＝7（個）。

7．原有紅球數為158只。

解：如果每次紅球取3×7=21（只），那麼最後剩下的紅球數仍應是剩下的白球數的3倍多2只，即3×3+2=11（只），比現在少53-11=42（只）．這是由於每次多取了2l-15=6（只）紅球．所以共取了42÷6=7（次），因此，原有紅球數為：7×15+53=158（只）。

8．甲中8發，乙中6發。

解：假設甲中10發，乙就中14-10=4（發）。甲得4×10=40（分），乙得5×4-3×6= 2（分）。比題目條件“甲比乙多10分”相差（40-2）-10=28（分），甲少中1發，少4+2=6（分），乙可增5+3=8（分）。

28÷（6+8）=2。

甲中10-2=8（發）。乙中14－8＝6（發）。

9．姣姣算對8道，甜甜算對6道。

解：姣姣得分（208＋64）÷2＝136（分）；甜甜得分208－136＝72（分）；假設她們都做對10道題，則每個人的總分各是200分。

姣姣差了200－136＝64分，姣姣錯了64÷（20＋12）＝2（道），做對了10－2＝8（道）。

甜甜差了200－72＝128分，甜甜錯了128÷（20＋12）＝4（道），做對了10－4＝6（道）。

10．其中考25題的有2次。

解：假設每次都考25題，則共考25×24＝600題，比實際情況多600－426＝174題。多的174題是因為有時考16道，有時考20題，那麼考16道題一次相差25－16＝9題，考20道題一次相差25－20＝5題。試驗174裡面有多少個9？有多少個5？會出現兩種情況：

第一種6個9，24個5 6＋24＞24 不符合題意

第二種16個9，6個5 16＋6＜24 符合題意 那麼出25題的有24－16－6＝2次。

同餘問題專題訓練

一、知識梳理

1、同餘的定義：若兩個整數a，b被自然數m除有相同的餘數，那麼稱a，b對於模m同餘，記作a≡b（mod m），讀作 “a同餘b模m” 。

例如：17÷3=5……2

23÷3=7……2

17≡23（mod 3） 讀作：17同餘23模3或17，23對於模3同餘。

2、同餘的性質：

（1）一個數一定同餘被模除後的餘數。

（2）如果a≡b（mod m），且a≥b，那麼m|（a-b）。

（3）a≡a（modm）（反身性）。

（4）若a≡b（mod m），那麼b≡a（modm）（對稱性）。

（5）a≡b（modm）， b≡c（mod m），那麼a≡c（mod m）（傳遞性）。

例如：2≡12（mod 5），12≡17（mod 5），所以 2≡17（mod 5）。

（6）a≡b（modm）， c≡d（mod m）， 那麼a±c≡b±d（mod m）（加減性）。

例如：2≡12（mod 5），12≡17（mod 5），

所以 2+12≡12+17（mod 5） 14≡29（mod 5）。

（7）若 a≡b（mod m）， c≡d（mod m），那麼ac≡bd（mod m）（可乘性）。

例如：2≡12（mod 5），12≡17（mod 5），

所以 2×12≡12×17（mod 5） 24≡204（mod5）

（8）若 a≡b（mod m），那麼an≡bn（mod m）（可乘方性） 。

例如：2≡12（mod 5）， 所以 23≡123（mod 5） 即8≡1728（mod 5）

（9）若ac≡bc（mod m），（c，m）=1互質，那麼 a≡b（mod m）。

如：3×2≡5×2（mod 4），但 3≡5（mod 4） 不成立。因為（2，4）≠1。

二、例題精講。

例1

、求263×13136×914的積除以13的餘數。

分析：如果直接把這個三個數相乘，再用結果去除以13，顯然計算量會很大，不可取。根據同餘的可乘性，我們可先分別求出三個因數除以模13的餘數（一個數一定同餘被模除後的餘數），再用餘數相乘的積去除以模13得到餘數。

解：263≡3（mod 13），13136≡6（mod 13），914≡4（mod 13）

根據同餘的可乘性得：263×13136×914≡3×6×4 （mod 13）

3×6×4≡7（mod 13）

263×13136×914的積除以13的餘數為7。

例2

、用412、133和257除以一個相同的自然數，所得的餘數相同，這個自然數最大是幾？

分析：假設這個自然數是a，因為412、133和257除以a所得的餘數相同，所以，，說明a是以上三個數中任意兩數差的約數，要求最大是幾，就是求這三個差的最大公約數。

解：412－133＝279，412-257＝155，257－133＝124。

（279，155，124）＝31。三個數的最大公約數是31，所以a最大是31。

例3

、求14349除以7的餘數。

分析：根據同餘的可乘方性可解此題，因為49＝32+16+1，所以只要求出143的32次方、16次方和143除以7餘數是幾，然後根據同餘的可乘性來求出最終14349除以7的餘數是幾。

解：143≡3（mod 7），1432≡32≡2 （mod 7）

1434≡22≡4 （mod 7），1438≡42≡2 （mod 7）

14316≡22≡4 （mod 7），14332≡42≡2 （mod 7）

49=32+16+1

14349=14332×14316×1431

14349≡14332×14316×1431≡2×4×3≡3 （mod 7）即餘數為3。

三、專題特訓

：1．一個數除以23餘數是2，把被除數擴大到4倍，餘數是多少？

2．310被一個兩位數除，餘數是37，這個兩位數是多少？

3．71427和19的積被7除，餘數是幾？

4．有一個整數，除300、262、205，得到相同的餘數（且餘數都不為0）．問這個整數是幾？

5．某數用3除餘1，用5除餘3，用7除餘5，此數最小為多少？

6．31453×68765×987657的積，除以4的餘數是多少？

7、1991和1769除以某一個自然數n，餘數分別為2和1，那麼n最小是多少？

8、除以3餘1，除以5餘2，除以7餘4的最小三位數是幾？

9、把由1開始的自然數依次寫下來，直寫到第201位為止，這個數除以3的餘數是幾？

10、求1919除以7的餘數。

參考答案

1．解 設被除數為a，商為 b，依題意得：a = 23b + 2，被除數擴大4倍得：4a=92b+8，8＜23，所以餘數是8．

2．解 310-37=273=3×7×13．大於37的兩位數有3×13=39，7×13=91，這樣的兩位數有兩個：39、91．

3．解 71427÷7餘6，19÷7餘5，那麼兩數的積被7除的餘數是兩數餘數積被7除的餘數，即

71427×19≡6×5 （mod 7）

6×5≡2（mod 7）

71427×19的積除以7的餘數為2。

4．解 根據同餘，300-262=38和262-205=57都被這個數整除．這個數是（38，57）=19．

5．解 設某數為x，則x+2同時被3、5、7整除，所以x的最小值為3×5×7-2=103．

6．解 因為31453÷4=7863……1，68765÷4=17191……1，987657÷4=246914……1，1×1×1=1，所以31453×68765×987657的積除以4餘數是1．

7、解 1991-2=1989能被n整除，同理1769-1=1768也能被這個數n整除．所以n是1989與1768的最大公約數的約數，且應大於2．因為（1989，1768）-13×17，所以n最小是13．

8、解 因為除以3餘1，除以5餘2的最小數是22，而3和5的最小公倍數是15，所以符合條件的數可以是22，37，52，67，…．又因為67÷7=9……4，所以67是符合題中三個條件的最小數，而3，5和7的最小公倍數是105，這樣符合條件的數有67，172，277，…．所以，符合條件的最小三位數是172．

9、

解 把由1開始的自然數依次寫下來，直寫到第201位為止，一位數寫了1×9=9（個）數碼，兩位數寫了2×90=180（個）數碼，三位數寫了（201-9-180）÷3=4（個），即寫到了99+4=103，因此由1開始的自然數依次寫下來的201位數是由1開始的103個連續自然陣列成的．經過觀察發現，不論從哪開始，每連續3個自然數的各位上數字的和能被3整除．因為一共是103個自然數，所以103÷3=34……1，前102個自然數（3×34=102）的各位上數字之和都能被3整除，而201位數的最後三位數是103，所以：103÷3=34……1，即這個201位數除以3餘數是1．

10、解

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