古人是如何做除法的？

傳世文獻中也偶有“投”用作“置放”之義的例子。承郭永秉先生指示，《老子·德經》中“兕無所投其角，虎無所措其爪”，“投”與“措（措置義）”對文，也可能是“置放”的意思。

《算數書》這個“投”字，既可訓“取”，又可訓“置”，但“取”和“置”獨立使用時是兩個相反的動作，並非同義詞，只有擺設物品，從一邊取來，到另一邊放下，“取”和“置”對應著移動中的同一物體，才能表達同一過程。擺放算籌，這邊放下多少枚，等於從那邊取來多少枚，所以既可說“取籌”若干，又可說“置籌”若干，如換用一個能概括整個過程而包容“取”“置”二義的詞，應該是“設”。

秦漢時“設”和“置”詞義極近，毋須詳辯；“設”與“取”也詞義相近。如《管子》卷十三“心術上”：“感而後應，非所設也；緣理而動，非所取也。”又如《韓非子》卷十九“顯學”：“宋榮子之議，設不鬥爭，取不隨仇。”“設”與“取”均相對為言。

張家山出土《算數書》之《少廣》，右數第9行起，據《張家山漢墓竹簡（二四七號墓）》，文物出版社，2001年

對《九章算術》中的“置”，魏晉時人劉輝曾用“設”來註釋，其《少廣》“以三乘所得數置中行”，劉輝注為“設三廉之定長”。“置”是具體操作，“設”是操作的全程。唐宋以還，數學書中“設”字漸多，如唐李淳風注《九章算術》，所用一些“設”即為“置”義；又如宋楊輝撰《詳解九章演算法》，將《九章算術·少廣》中的“置全步及分母子”直接引述為“設諸分母子”。這種用法一直沿用到今天，現在解數學題也要先“設”條件。

通此一義，“投少廣之術”即“設少廣之術”；“所投分”即“所設分”。下面以通用字對《算數書·少廣》錄文，重新標點，對文義略加疏通，其中為釐清邏輯關係，使用了一個括號。

少廣

投少廣之術。曰先置廣。即曰下有若干步，以一為若干，以半為若干，以三分為若干……積分（以盡所投分同之）以為法。即藉置田二百四十步，亦以一為若干，以為積步，除積步，如法得縱一步。不盈步者，以法命其分。

“投少廣之術”，設立少廣術算式。

“曰”和下文“即曰”、“即”表示算式內容，也提示三個運算步驟。

“先置廣”，首先設定“廣”即田地的橫邊。

“下有若干步，以一為若干，以半為若干，以三分為若干，積分（以盡所投分同之）以為法”，算式下方此時擺出“廣”的數值“若干步”，步數包含整數和分數。將一步設定為若干分，半步設定為若干分，三分之一步設定為若干分……以此類推。把“分”累積起來（演算法是將所有設定的“分”加起來），作為除數（法）。

已知矩形面積和一條邊長，求另一條邊長，在使用小數的情況下，是簡單的除法題。但中國古代沒有小數概念，非整數都用分數表示，難做除法，於是發展出 “少廣術”專門解決此類問題。其術是把除數中的分數化為整數，以便相除，從現代數學看，是求出最小公倍數，與各分數相乘，直接將所有分母約掉，再將通分後的分子加起來。《九章算術》中設有公式：“置全步及分母子，以最下分母乘諸分子及全步，各以其母除其子，置之於左，命通分者。又以分母遍乘諸分子及已通者，皆通而同之，並之為法。”看上去很是複雜。《算數書》是簡單演算法，沒有給出求公倍數和通分的公式，而是在算題集中給出預先算好的數值，即當“廣”分別包含1-9個相加的分數時，對“一步”、“半步”直到“九分之一步”均設定相應的“分”，供解題者使用。所以術文在求“積分”時，不用通分，直接以對應的數值即“所投分”相加即可。

在以前的研究中，對“下有若干步”，紀志剛認為即指“最下分數的分母”，實則不然。“若干”後面帶有單位“步”，是步的數量，而非其中一個分數的分母。這就像一群人站隊，個子高的站在最後，我們不能將“外面有若干人”說成“外面站著大個子”。再說這一步驟是求積分的，如果只有一個數，就不勞“以盡所投分同之”了。

作者：艾俊川

編輯：劉迪

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