13等於0.333（除不盡），1米長的繩子能否分成三等份？

大於五分之一小於三分之一的分數有幾個

這種問題經常在網路上出現，很容易讓人陷入某種誤區，甚至讓人患上“強迫症”，看到無理數就會產生某種說不清道不明的“歧視”心理，就好像無理數真的“無理”一樣，“無理數”這三個字確實矇蔽了很多人的雙眼！

事實上無理數一點也不“無理”，無理數和有理數完全是平等的，都是一個再普通不過的數，而且是真實存在的數，一個非常確定的數。

無理數與有理數的區別只有一點：無限不迴圈，僅此而已。

但你不能因為無限不迴圈就對無理數“另眼看待”，甚至會下意識地認為“無限不迴圈就不是確定的數”！

不少人總是下意識習慣性地強迫無理數必須用小數完全寫出來，寫不出來心裡就憋得慌。但一個非常現實的問題是：為何一定要用小數寫出來呢？用其他形式寫出來不行嗎？

這就是不少人認識山的誤區！

比如說圓周率π就是π，就好比“1就是1”一樣，都是一個確定的數。我可以很輕鬆地把π寫出來，它就是：π。

明白了這點，再回到問題中。

1/3等於0。333……，永遠寫不完，但寫不完不代表1/3就不存在，事實上你可以非常輕鬆地在數週上畫出1/3長度，不但如此，你可以在數週上畫出任何一個數（包括無理數）的長度，比如說π，√2等。

下圖一眼就能看出如何在數軸上畫出√2：畫一個直角邊為1的等腰直角三角形，然後以斜邊為半徑畫一個圓形，與數軸的交點就是√2。

確實，在人類數學史上，尤其是在微積分思想產生之前，無理數的概念困惑了很多人。就好題目中的問題一樣，0。333永遠寫不完，怎麼可能分成三等份呢？

首先1/3是一個確定的數，非常確定，是一個實數。只要是實數，都會對應數軸上的一個點。我們經常用到的圓周率π是無理數，它也對應數軸上一個點，π是一個確定的長度。

不少人認為無理數是不那麼確定的數，其實只是一種錯覺，一種心理暗示罷了，或者說是一種“強迫症”！

肯定有人會這樣質問：1米長的繩子分成三等份，一份的長度就是0。333……，那麼三份的長度應該是0。999……，也不等於1啊！

這就是誤區所在，其中也牽扯到極限的思想。

最簡單的解釋就是：不要總是在0。333……（一直迴圈）上面較真，你直接認為1/3不就行了嗎？1/3乘以3不正好等於1嗎？為什麼非要把任何數都要寫成小數的形式才甘心呢？

但總會有人不甘心，一定要用小數寫出來才罷休。所以問題的關鍵就在於：0。999……是否等於1？

0。999……等於1，0。999……等於1，0。999……等於1。

重要的事情說三遍！

可以用反證法來證明，首先假設0。999……不等於1，由於兩個不相等的數之間肯定會存在無數多個數，這意味著0。999……和1之間存在無數多個數，但事實上不要說找到無數多個數了，你能找到哪怕一個數嗎？

如果能找到，0。999……當然不等於1，如果找不到，0。999……必然等於1。最後的結果是：你不得不承認0。999……等於1。雖然你可能還是那麼不甘心！

還有人經常會這樣問：0。999……不是比1要小0。00000……1嗎？極限屬於一種抽象概念，非具體的，所以我們不能用具體數值的加減來理解。

再舉個通俗的例子。

自然數與偶數哪個更多？

如果沒有極限的思想概念，很容易得出“自然數比偶數多”的結論，畢竟自然數包括偶數和奇數。但事實上自然數與偶數一樣多。自然數與偶數都是無窮多個，無窮也是有大小的。最簡單的比較無窮大小的方式就是兩個無窮的合集是否能一一對應。

自然數雖然看起來比偶數多（好像多出來的都是奇數），但每一個自然數都有偶數與之對應：自然數乘以2不就是偶數嗎？

所以自然數與偶數一樣多！

如果你按照剛才的思想來較真：自然數-偶數=奇數，那就完全脫離了極限的思想。

最後還要強調一點，純理論上分析，一根一米長的繩子可以分成三等份，但現實中你永遠做不到。這與科技發達與否沒有關係，科技再發達也不可能做到，誤差是永遠存在的。

而且“一根一米長的繩子分成三等份”僅僅是從數學概念來分析的，也就是說數軸上長度為1的線段可以分成三等份。但數學並不等同於現實，數學可以說是抽象的概念，帶有絕對性。而測量屬於具體的，具有相對性。

同時，數學上不存在最小的數，你永遠找不到大於0的最小的數，但現實中存在最小的長度單位，它就是普朗克長度，任何小於普朗克長度的單位都沒有意義！