你知道有界數列的聚點定理嗎？

高等數學有一個關於有界數列的聚點定理，知道的小夥伴們可能不少，但是能真正理解的，恐怕就不多了。魏爾斯特拉斯的聚點定理是指有界無限點集必有聚點的事實，那是《老黃學高數》系列影片第218講分享的內容。它是專門針對數集和點集的，那麼針對數列和點列的聚點定理又是怎麼樣的呢？老黃這裡就給大家做一個詳盡的介紹。

有界數列(點列){xn}

（預設為無限數列或點列）

至少有一個聚點,且有最大與最小聚點.

可以看到，有界數列的聚點定理，比點集的聚點定理還增加了對最值

的

強調。不過老黃認為，有界無限數集也是有最大聚點和最小聚點，只是沒有特別強調而已。因為每一個數列都會對應一個數集。雖然如此，它們卻又不完全等價。比如，常數列的常數可以看作數列的聚點，但對應的數集只有一個數，不能看作是數集的聚點。這一點還可以繼續討論。

言歸正傳，下面老黃就給大家演示這個定理的證明過程，使用的是區間套定理。

證：∵{xn}有界,∴存在M>0,使得|xn|≤M, 記[a1,b1]=[-M,M]. 【

因為數列有界，所以任意假設數列的一個界M，用閉區間［-M，M］覆蓋{xn}對應的數集，並記這個閉區間為［a1，b1］，即為我們要構造的閉區間套的第一個閉區間，長度為2M】

將[a1,b1]二等分，若右邊的子區間含有{xn}中無窮多個項，則取右邊的區間，否則取左邊的區間為[a2,b2]，

【優先取右邊的半區間，因為右邊的數更大，一直堅持優先取右區間，這樣取到的聚點就最大，之所以取有無窮多個項的區間，因為這樣的區間才有可能存在聚點】

則[a1,b1][a2,b2],且b2-a2=(b1-a1)/2=M.

【得到區間套的第二個閉區間，長度減小一半】

將[a2,b2]二等分，若右半區間含有{xn}中無窮多項，則取右邊的區間，

【同上，繼續優先取右邊的區間】

否則取左半區間為[a3,b3][a2,b2],且b3-a3=(b2-a2)/2=M/2.

【區間套的第二個閉區間，長度又減小了一半】

依此，將無限等分割槽間，可得區間列{[an,bn]}滿足