高數之理解數列的極限

大家好，我是小城大城。

一、數列極限的定義

極限的概念是由於求某些實際問題的精確解答而產生的，例如利用圓內接多邊形來推算圓面積的方法

­­­­­

（割圓術）。

設有一個圓，首先作內接正六邊形，把它的面積記為A1，再作內接正十二邊形，面積記作A2，再作二十四邊形其面積記作A3，迴圈下去，每次邊數加倍，一般的把內接正6×2ⁿ­­­-¹邊形面積記作An（n∈N﹢），這樣就得到了一系列內接正多邊形的面積：

A1，A2，A3，…，An，。。。

它們構成一列有次序的數，當n越大，內接正邊形與圓的差別就越小，從而以An圓面積的近似值也越精確。但無論n取多大的值，An終究只是多邊形的面積，不是圓的面積，因此，設想n無限增大（記作n→∞），即內接正變形的邊數無限增加，內接正多邊形無限接近於圓，同時An也無限接近於某一確定的數值，這個數值就理解為圓的面積。這個確定的數值在數學上稱為數列A1，A2，A3，…，An，。。。當n→∞時的極限。

先說明數列的概念。如果按照某一法則，對每一個n∈N﹢都對應著一個確定的實數Xn，按照n從小到大排序得到的一個序列

X1，X2，X3，。。。Xn，。。。

就叫做數列記作{Xn}。

數列{Xn}可以看作自變數為正整數n的函式，即Xn=f（n）。對於我們要討論的問題來說，當n無限增大時（即n→∞），對應的Xn=f（n）是否能無限接近於某個確定的值？如果能夠的話，這個數值是多少？

我們對數列

2，1/2，4/3，。。。，n+（-1）ⁿ-¹/n，。。。 ①

進行分析，在數列中，

Xn=（n+（-1）ⁿ-¹）/n=1+（-1）ⁿ-¹/n

我們都知道兩個數a與b在數軸上的接近程度可以用|b-a|來度量，|b-a|越小，a與b越接近。

就數列①，因為

Xn=（n+（-1）ⁿ-¹）/n=1+（-1）ⁿ-¹/n => |Xn - 1|=|（-1）ⁿ-¹/n|=1/n

由此可見，當n越來越大時，1/n越來越小， |Xn - 1|=1/n越來越接近於0，從而Xn越來越接近於1，即當n無限增大時，1/n無限接近於0。在這裡我們就可以得出：

任意給定一個正數ε（ε>0），1/n都小於ε。

例如：

給定ε=1/100，欲讓1/n < 1/100，只要n>100，即當n從101項開始都能讓不等式

1/n < 1/100

成立，同樣的，如果給定ε=1/100000，欲使1/n < 1/100000，只要n>100000，即n從100001項開始都能讓不等式

1/n < 1/100000

成立。以此類推n無限大時都有 |Xn - 1|=1/n小於任意正數，即無論給定的正數ε多麼小總存在一個整正數N使得當n>N時，不等式

|Xn - 1|<ε

都成立。其中1為當n→∞時數列Xn=f（n）的極限

透過上述的例子可以對數列的極限有如下的定義：

設數列{Xn}，如果存在常數a，對於任意給定的正數ε（無論ε多麼小），總存在正整數N，使得當n>N時不等式

|Xn-a|<ε

都成立，那麼就稱a為數列{Xn}的極限，記為Xn→a(n→∞)

如果不存在這樣的常數a，則數列的極限不存在。其中ε存在的意義就是為了透過|Xn-a|<ε表達Xn與a無限接近的意思。

二、收斂數列的性質

我們都知道數列{Xn}是根據下標n從小到大排序的，所以當n無限增大時，無限接近於一個確定的數值a則數列{Xn}的極限為a，也稱數列收斂於a。由此可得定理：

如果數列{Xn}收斂，那麼它的極限唯一

對於數列{Xn}如果存在正整數M使得一切Xn都滿足不等式|Xn|