非線性穩定性計算中的適用性分析

王 欣1 徐兆光1 陸鵬飛2 付河靈1 梁 勇1

1 大連理工大學機械工程學院 大連 116023 2 中聯重科股份有限公司工程起重機分公司 長沙 410000

摘 要：

透過對臂架初始幾何缺陷的統計與整理，可將臂架初始幾何缺陷劃分為整體缺陷與區域性缺陷。以750 t 履帶起重機63 m 臂架為例，研究含幾何缺陷的臂架有限元建模方法。透過等效載荷法模擬臂架的整體缺陷。重新定義一致缺陷模態法的模態匯入比例係數和缺陷幅值，結合模態的組合形式模擬各種可能的區域性缺陷。由此構建含整體缺陷和區域性缺陷的臂架有限元模型對比雙重非線性穩定性計算結果，比較各種缺陷模態下模型的極限載荷，最終確定最不利的缺陷模態，為含幾何缺陷的臂架非線性穩定性計算提供借鑑與參考。

關鍵詞：

桁架臂；初始幾何缺陷；一致缺陷模態法；組合模態；雙重非線性

中圖分類號：

TU973

文獻標識碼：

A

文章編號：

1001-0785（2020）13-0055-05

0 引言

隨著國家經濟的發展，長細桁架臂起重機應用的領域越來越廣泛，故對其安全性的要求也越發嚴格。臂架作為起重機的主要承載結構，失穩是其主要破壞形式之一，設計時尤為重視，而初始缺陷對結構的穩定性具有一定的影響且不可避免，缺陷過大會導致結構的極限承載能力大幅度的下降［1］。因此，找到一種合適的缺陷模擬方法對於履帶起重機穩定性分析尤為重要。

由於結構初始缺陷的分佈和尺寸大小受諸多因素的影響，在建造之初是未知的，考慮到結構的安全性，一般討論結構的最不利缺陷來完成穩定性分析。目前，常用的初始幾何缺陷確定方法有一致缺陷模態法和隨機缺陷模態法。羅昱提出了改進的一致缺陷模態法，認為初始幾何缺陷應該由多階屈曲模態共同組合而成，各階模態透過不同的影響係數進行線性組合［2］。陳世英發現了最佳化尋優結果與初始幾何缺陷有直接關係［3］。蔡健提出計算量較少的N 階特徵缺陷模態法計算結構穩定承載能力［4］。張千提出了一種基於可靠度的隨機缺陷模態疊加法［5］。

從以上研究成果可以看出，對結構幾何缺陷模擬方法的研究大多面向的是土木工程結構，而對起重機械用桁架結構的缺陷模擬研究不多。為此，考慮到臂架節點眾多和工程中的可行性問題，借鑑前人的研究成果，將一致缺陷模態法引入到臂架的穩定性分析中，並從缺陷幅值與模態比例係數選擇上對方法加以改進。透過算例來表徵改進後的方法在臂架非線性穩定性計算上的適用性。

1 臂架初始幾何缺陷分析

由於臂架缺陷種類比較繁多，本文主要研究結構幾何缺陷。幾何缺陷是指實際結構的幾何引數與理想結構存在著差異。結構的幾何引數包括結構的形狀、節點空間位置、構件的形狀以及結構構件的截面特徵（ 包括截面高度、寬度、厚度、面積、面積矩、慣性矩） 等［6］。臂架的幾何缺陷形成與材料、加工、製造和裝配有關，主要包括：

1）結構的節點位置偏差，如臂架整體中心線直線度誤差，臂節中心線直線度誤差等；

2）杆件的初撓曲，如弦杆、腹杆的初撓曲等；

3）構件截面形狀的畸變和截面尺寸的偏差，如臂節的寬度和高度誤差、臂節端面兩對角線長度誤差等。其中，節點位置偏差屬於結構整體缺陷，其餘屬於區域性缺陷，本文將從整體缺陷與區域性缺陷這兩個方面對臂架缺陷進行分析。

1。1 整體缺陷分析

對於桁架結構的整體缺陷，主要模擬其整體直線度誤差，該誤差主要是臂節間的安裝間隙、臂節直線度誤差造成的整體偏斜誤差。根據GB50017 － 2017《鋼結構設計規範》［7］、GB/T 3811 － 2008《起重機設計規範》［8］ 及相關起重機械製造企業技術要求可知，臂節間的安裝間隙4 ～ 6 mm，臂節中心線直線度誤差不得大於1/1000。

1。2 區域性缺陷分析

臂架區域性缺陷主要是針對臂架杆件（弦杆、腹杆）的初彎曲。由於起重機械領域相關標準未對這種缺陷幅值提供規定要求，一般企業標準中會有所限定。因此，借鑑企業標準規定，並結合GB50017 － 2017《鋼結構設計規範》可知，主要承載弦杆和次要承載腹杆的初彎曲均不能超過杆長的1/1 000［7］。透過對比臂節中弦杆與腹杆的缺陷幅值，來確定模型中區域性缺陷幅值R 。

2 缺陷的模擬方法及計算流程

目前，考慮結構幾何缺陷的方法主要有假定缺陷分析法、等效載荷法、縮減切向模量法、隨機缺陷模態法和一致缺陷模態法等，前幾種方法主要應用於結構的解析法分析中，後兩種方法主要用於大跨度桁架、網架、網殼結構的有限元分析中［6］。本文分別應用等效載荷法和改進的一致缺陷模態法模擬整體缺陷和區域性缺陷。

2。1 整體缺陷模擬

臂架的整體缺陷主要是由於臂節間的安裝間隙、臂節的直線度誤差造成的偏斜誤差，這種偏斜導致臂架載荷偏斜，而當臂架整體往一側偏斜時載荷偏斜最為嚴重，故採用側向偏斜的整體缺陷形式。本文采用等效載荷法來模擬整體缺陷。

在不受重力影響下，只對理想臂架幾何缺陷大的位置附近施加集中載荷，對比模型位移量和實際幾何缺陷值及形狀，從而確定等效集中載荷大小。與此同時，將臂架的位移透過UPGEOM 命令匯入到理想結構模型中，模擬整體幾何缺陷，由此建立含整體幾何缺陷的臂架有限元模型。

2。2 區域性缺陷模擬

對於臂架杆件初彎曲類區域性缺陷的模擬時，採用一致缺陷模態法進行模擬，但現有的一致缺陷模態法模擬出的缺陷幅值不一定與實際幾何缺陷吻合。此外，通常選用最低階模態不一定能體現最不利的初始幾何缺陷［2］。為此，本文對一致缺陷模態法進行改進。首先，對一致缺陷模態法的缺陷幅值進行了重定義，取臂節杆件對缺陷要求的最大值作為缺陷幅值，然後得出特徵屈曲分析下的前20 階模態，尋找與實際變形相近的模態。此外，由於相關文獻［2］ 指出多階模態共同作用可能為結構的最不利缺陷，故找出臂架相近且最不利的兩階模態，將二者按表1 所示的缺陷比例進行組合來模擬初始缺陷，透過對單、雙階缺陷模態下的模型極限載荷的比較來確定模型最不利的初始缺陷分佈形式為單階模態還是組合模態。

改進後的一致缺陷模態法的具體方法為：設{α n}為結構線性屈曲分析的屈曲模態，b n 表示{α n} 中的各杆件變形最大值，則在改進的一致缺陷模態法中，結構的初始幾何缺陷，即

式中：R 為臂節杆件對缺陷要求的最大值作為缺陷幅值。

組合模態形式下的幾何缺陷

式中：R x1、R x2 為最不利的兩階模態的缺陷幅值，{α x1}、{α x2} 為結構線性屈曲分析的屈曲模態，b x1、b x2為最不利的兩階模態中各杆件變形最大值。

2。3 含有幾何缺陷的臂架非線性穩定性計算流程

1）建立臂架理想結構的有限元模型，透過等效載荷法構建含整體幾何缺陷的臂架有限元模型；

2）對含有整體缺陷的模型進行特徵屈曲分析，將各階屈曲模態按改進的一致缺陷模態法中的比例來模擬臂架的區域性初始缺陷分佈（主要指杆件初彎曲），進而建立含整體和區域性幾何缺陷的臂架有限元模型。

3）透過觀察各階模態弦杆缺陷分佈形式，找到最不利於極限載荷的兩階屈曲模態，將二者按照一定比例進行聯合，再進行區域性缺陷的模擬，構成組合缺陷下的模型。

4）對含有缺陷的臂架有限元模型採用弧長法［9］ 進行非線性計算，考慮幾何、材料雙重非線性，由此得到各階缺陷模態下模型的極限載荷。

5）比較單、雙階缺陷模態下的極限載荷，找出最不利的缺陷形式，分析初始缺陷對結構穩定性的影響，最終確定最不利缺陷模態下的臂架有限元模型。

3 算例分析

以750 噸級履帶起重機的63 m 臂架（工作角度為68°）為例，採用等效載荷法和改進的一致缺陷模態法，對比整體缺陷與區域性缺陷，最終建立最不利情況下的含幾何缺陷的臂架有限元模型，同時分析初始缺陷對結構穩定性的影響。

其中，理想臂架系統有限元模型是將臂架的各杆件以梁單元方式、變幅拉板以杆單元的方式組合建立，相應的約束條件是將臂架根部鉸點施加五自由度約束（放開臂架Z 方向即軸向旋轉自由度），變幅拉板末端鉸點施加全位移自由度約束。模型單元總數為10 531，節點總數為10 254。理想結構下的有限元模型如圖1 所示。

圖1 理想臂架有限元模型

3。1 整體缺陷模擬

根據前述，臂架裝配後的直線度要求不超出1/1000，故63 m 臂架最大整體缺陷幅值取為63 mm。考慮臂頭出現最大幾何缺陷時更危險，故將等效載荷施加於臂架頭部側向，計算出的臂頭側向位移與幾何缺陷值對比，確定等效載荷為15 479 N，此時的臂架位移雲圖如圖2 所示。透過UPGEOM 命令，將該位移匯入到理想模型中，獲得的含整體缺陷的臂架有限元模型如圖3 所示。

圖2 等效載荷下的理想結構側向位移雲圖

圖3 含整體缺陷的臂架有限元模型

3。2 區域性缺陷模擬

透過對含整體缺陷的臂架有限元模型進行特徵值屈曲分析，可獲得不同階數的屈曲模態。典型的模態形式如圖4 所示。

由此可以看出，區域性模態變形最大位置大多發生在臂架臂節內部，弦杆呈現波浪型變形，腹杆呈現彎曲變形。將屈曲模態按一定比例匯入到含整體缺陷的有限元模型中，即可得到含整體缺陷和區域性缺陷兩種幾何缺陷下的臂架有限元模型。

3。3 計算結果分析

透過對理想臂架與含整體缺陷的臂架分別施加自過載荷、起升載荷、側向載荷（ 起升載荷×tan2o） 並進行雙重非線性穩定性分析，可得到起升載荷- 位移曲線如圖5 所示。

圖4 臂架特徵值屈曲模態（放大200 倍）

由圖5 可知，理想臂架模型的極限載荷為617。38 t，帶有整體缺陷的臂架極限載荷為600。64 t，相比於理想模型，極限載荷降低了2。71%。因此，整體缺陷對臂架非線性穩定性具有一定的影響，需進行考慮。

對匯入整體缺陷後的模型，再引入符合臂架實際變形的屈曲模態，來模擬臂架的區域性缺陷。透過觀察各階模態分佈形式下的弦杆波峰與波谷的位移值，發現臂架最不利的缺陷模態發生在第8 階，僅次於第8 階的最不利缺陷模態為10 階。

首先，根據一致缺陷模態法的缺陷匯入方式，將第8 階模態按照式（1）中R /b n 的比例施加到含有整體缺圖5 模型極限載荷對比陷的模型上。其中，b n 按式（1）取第8 階模態中各杆件變形的最大值，R 值取臂節杆件對缺陷要求的最大值作為缺陷幅值，約為14 mm。

對匯入8 階模態缺陷下的臂架模型分別施加自過載荷、起升載荷、側向載荷並進行雙重非線性穩定性分析，得到8 階缺陷模態下的極限載荷為590。81 t，相對於理想模型，其模型的極限載荷降低了4。3%。

將8、10 階模態進行組合來模擬初始缺陷，如表1所示，其中8 階模態模擬的缺陷幅值為R x1，10 階模態模擬的缺陷幅值為R x2，按單階模態的載荷施加方式進行雙重非線性穩定性分析得到9 種缺陷組合下的模型極限載荷如圖6 所示。

由圖6 可知，極限載荷呈現兩邊低中間高的趨勢，臂架最不利的組合缺陷模態發生在第9 組，極限載荷為593。41 t。相對於理想模型，其模型的極限載荷降低了3。88%。與單階模態下的結果對比，兩階組合模式下的缺陷對極限載荷的影響要弱於單階結果。由此，採用單階模態模擬的缺陷更不利。

圖6 組合模態缺陷下的極限載荷

4 結語

本文應用等效載荷法和一致缺陷模態法構建了含整體缺陷和區域性缺陷的臂架有限元模型，並對比雙重非線性穩定性計算出的極限載荷結果，可以看出單階模態模擬的區域性缺陷比雙模態模擬的更為不利，為臂架非線性穩定性計算提供了一種合適的缺陷匯入方法，使計算結果更加真實可靠。後續將進一步研究缺陷對更長臂穩定性的影響及組合模態分配比例的調整分析。

參考文獻

［1］ 王欣，高順德。 國外履帶起重機的特點及國內市場現狀［J］。建築機械，2006（13）：12-16。

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［3］ 陳世英，張素娟，李青，等。 初始幾何缺陷對網殼截面最佳化結果影響研究［J］。 力學與實踐，2015，37（6）：708-712。

［4］ 蔡健，賀盛，姜正榮，等。 單層網殼結構穩定性分析方法研究［J］。 工程力學，2015，32（7）：103-110。

［5］ 張千。 單層球面網殼結構在隨機初始缺陷下的穩定性研究［D］。 長沙：湖南大學，2018。

［6］ 武鵬。 缺陷對管桁架結構工況影響分析［D］。 西安：長安大學，2008。

［7］ GB50017-2017 鋼結構設計規範［S］。

［8］ GB/T 3811-2008 起重機設計規範［S］。

［9］ 範雯霖。 基於弧長法的起重機臂架非線性穩定性分析［D］。大連：大連理工大學，2018。