高中：解不等式都是去絕對值，你見過加絕對值的情況嗎？帶你見證

原題

原題：定義在R上的函式f（x）滿足f（－x）=f（x），且當x≥0時，f（x）=－x^2+1，（0≤x<1）和f（x）=2－2^x，（x≥1），若對任意的x∈［m，m+1］，不等式f（1－x）≤f（x+m）恆成立，則實數m的最大值是？

圖一

這道題也是一個恆成立的問題，但是它並沒有直接給出不等式，而是給出了函式f（x）的關係式，那怎麼才能去掉函式f（x）的“外套”得到關於m的解析式呢？

加上絕對值

題中給出的是當x≥0時，才有f（x）=－x^2+1，（0≤x<1）和f（x）=2－2^x，（x≥1）這樣的解析式形式，且f（x）還是一個偶函式，所以不等式f（1－x）≤f（x+m）裡面的變數1－x和x+m就可能是正也可能是負數，但是都是和正數時一樣的結果。

根據給出x≥0時的解析式，我們可以做出f（x）的影象：

當0≤x<1時，f（x）=－x^2+1的影象是一個開口向下的拋物線，且過定點（0，1），當x趨近1時，y值也趨近於0；

當x≥1時，函式f（x）=2－2^x影象其實是一個指數函式y=2^x影象關於x軸對稱的影象再向上平移了兩個單位，並且該函式過定點（1，0）。

圖二

如圖二，函式f（x）在x≥0上時是一個減函式。

所以給出的不等式f（1－x）≤f（x+m）中的自變數都是大於0的數時，應該滿足1－x≥x+m，但是自變數1－x和x+m並不一定是大於0的數，所以這裡為了得出自變數的關係時，我們要將自變數加上絕對值的形式，即|1－x|≥|x+m|。

再去絕對值得出關於m的不等式

去掉絕對值的方法中可以將不等號兩邊平方，即將|1－x|≥|x+m|兩邊平方，得到（1－x）^2≥（x+m）^2，整理得出（2m+2）x+m^2+1≤0。

所以上述的問題就轉化成了：對任意的x∈［m，m+1］，都有（2m+2）x+m^2+1≤0恆成立，求m的最大值。從而得出關於m的不等式。

求出m的值

函式y=（2m+2）x+m^2+1是一個直線，要麼是單調遞增的，要麼是單調遞減的，所以要想不等式（2m+2）x+m^2+1≤0恆成立，只需要將［m，m+1］端點代入求出其函式y=（2m+2）x+m^2+1中求出其最大值，再得出的最大值小於等於0，從而求出m的取值範圍。

具體步驟

第一步，加上絕對值，脫去“外套”得出自變數之間的關係。

第二步，再去掉絕對值，得出關係m的不等式。

第三步，解不等式，求出m的範圍。

具體做法如圖三：

圖三

從而解出m的最大值-1/3。

總結

我們在解不等式時，都是去掉絕對值才能將不等式求解出來，而這道題中需要加上絕對值來解決，巧妙的利用的絕對值的作用。

所以做題的過程中需要靈活運用所學的東西，才能出奇制勝。

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