不同直徑的圓轉一圈後，滾過的距離相同?談一下亞里士多德車輪悖論與無窮小

車輪直徑40cm是多少寸

1亞里士多德的車輪悖論

如下的木頭輪子，可以將它抽象為兩個同心圓，大的表示車輪，小的表示車軸：

假設大圓的半徑為

，小圓的半徑為

。那麼車輪在水平線上（無滑動地）滾動一圈的話，兩個圓的底部都會平移相同的距離，即大圓的周長

：

想象大圓、小圓上分別塗上了不同顏色的油漆，車輪滾動一圈後，大圓、小圓所接觸的水平線都會被塗滿油漆，並且這兩段水平線的長度都為：

也就是說，半徑不同的兩個圓，同步旋轉一圈後，輾過的水平長度都是，就常識而言，這個結論非常奇怪。這就是古希臘數學家亞里士多德在《論機械》中提出的車輪悖論：

2伽利略的思考

1638年出版的《論兩種新科學及其數學演化》中，伽利略在其中提到了如何解釋亞里士多德的車輪悖論：

上面的影象可能有一點抽象，下面用更容易理解點的方式來解釋下伽利略的思考。我們知道，可用正

邊形去近似圓，

越大，越接近於圓：

因為多邊形和圓的這種關係，所以先來考慮下正六邊形的輪子旋轉，雖然這種輪子在水平路面上肯定不舒服。想象這樣的輪子，大六邊形和小六邊形都塗上了不同顏色的油漆，車輪滾動一圈後，大六邊形底邊所在水平線塗滿了油漆，而小六邊形所在底邊水平線並沒有塗滿：

正十四邊形更像圓了，同樣的，大十四邊形底邊所在水平線塗滿了油漆，而小十四邊形底邊所在水平線並沒有塗滿：

時，正多邊形就是圓了。所以伽利略根據上面的分析，類推得到，大圓底邊所在水平線應該塗滿了油漆；而小圓底邊所在水平線並沒有塗滿油漆：該水平線上，無窮多個點被塗上了油漆，但是點之間有長度非常非常小的間隔，或者稱為長度為無窮小的間隔，是沒有塗上油漆的。所以可用虛線來表示小圓經過的水平線：

也就是說小圓實際上沒有輾過水平上的每一個點，只是輾過了其中的一部分點。這樣，伽利略就回答了亞里士多德的車輪悖論。

3直線是由點構成的嗎?

1621年，義大利數學家卡瓦列裡：

向伽利略請教了這麼一個問題，可以不可以認為線段是由無窮多個、長度為無窮小的點構成的（這個問題如果成立的話，意味著可以透過將點累加起來得到線段的長度，也就是微積分的萌芽。但是承認點有長度也是非常古怪的）：

伽利略也一直在思考類似的問題，他在反覆思考之後，最終從亞里士多德的車輪悖論中得到靈感，說線段是由無窮多個點構成的，而這些點之間夾雜著無窮多個長度為無窮小的空白。按照伽利略的這個設想，既可以保證線段是由點構成的，又可以保證這些點是沒有長度的，還可以保證線段本身是有長度的。

當然不論是卡瓦列裡，還是伽利略的假說，都是充滿矛盾的。雖然當時的人們還不清楚無窮小的嚴格定義是什麼（在現代的數學定義中，無窮小是函式，或者是陣列，具體的解釋可以檢視這裡），但是知道，如果無窮小的長度是某個確切的實數的話，那麼無窮多個長度為無窮小的點，或者無窮多個長度為無窮小的空白加起來，其長度一定是無窮大，但是線段的長度很顯然不是無窮大。

4滾動與滑動

由於伽利略對無窮小的錯誤認識，所以他對亞里士多德的車輪悖論解釋是錯誤的，下面用物理學的觀點來解釋一下。如果大圓和小圓都是獨立滾動的，那麼都滾動一圈的話，確實大圓應該水平移動

，而小圓應該水平移動

。

但在悖論中，真正獨立滾動的是大圓，小圓是完全被動運動的。所以，悖論中提到小圓的半徑為完全是一種誤導，讓你覺得小圓也在獨立滾動。而實際上，小圓是在進行“滾動+滑動”的疊加運動，小圓在水平線上滾動一段距離、滑動一段距離，最終完成了的平移。

“滾動+滑動”的疊加運動，我們沒有辦法做出影象，應該有點像剛才伽利略的推理，塗上藍色油漆的部分對應著滾動，沒有塗色的地方對應著滑動：

5一一對應

拋開物理觀點，還可以從數學角度來品味下這個悖論。在小圓上有無窮多個點，在水平線上也有無窮多個點。根據集合論的觀點，兩個無窮是一樣多的，因此小圓上的點和水平線上的點是一一對應的（為了避免影象太亂，下面選了幾個點作為示意）：

小圓上的點和水平線上的點重合，這就是“輾過”的數學定義。那麼根據上面的一一對應關係，小圓轉動時，小圓上的每個點都可以找到水平線上一個對應的點與之重合，也就是說，小圓可以輾過水平線上所有的點。也就是說，只觀察點的話，小圓確實輾過了整個水平線。

上面的推斷過程涉及到無窮大的比較，有困惑的同學可以搜尋“希爾伯特旅館悖論”進一步的瞭解。

6平移

關於亞里士多德的車輪悖論，還有這麼一種解釋：輪子滾動一圈之後，平移了

。作為一個整體，輪子上的每一點都肯定平移了

。

也就是說，大家不要去考慮什麼小圓，不要跟著悖論的思路走，就不會陷入思維陷阱。

7小結

雖然伽利略、卡瓦列裡關於無窮小的思考是錯誤的，但他們的嘗試、彼此之間的爭論是數學發展的推動力。在一代代數學家的努力下，最終微積分才有了嚴格的定義，成為了現代科學的基石。

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