著名的數學難題——捷線問題，牛頓求解只用一個晚上，天賦拉滿

所用的時間和速度成正比例嗎

1696年6月，著名數學家約翰·伯努利（ Johann Bernoulli ））在德國一份科學期刊《博學報》（Acta Eruditorum）上發表了以下問題：

在鉛直平面上兩點A，B之間要連一條曲線，使得不受摩擦的質點在重力的作用下沿這條曲線由A運動到B所需要的時間最少？

圖1：從A到B，三種可能的最優路徑

下圖顯示了約翰·伯努利和1696年6月用拉丁文在《博學報》上對該問題的表述。

圖2

這一數學難題被稱為捷線（最速落徑）。儘管約翰·伯努利自己已經知道如何解決這個問題，但他還是挑戰了歐洲的其他數學家，並給他們6個月的時間來解決這個問題。然而，在那之後，沒有人給出任何答案。就連歷史上最偉大的知識分子之一戈特弗裡德·萊布尼茨（Gottfried Leibniz）也要求延遲最後期限。1697年1月29日下午，艾薩克·牛頓在他的郵件中（一封來自伯努利的信）發現了這個問題。然後，他在夜間解出了這個難題，並以匿名方式寄回了答案。

下面是牛頓手寫的答案。這個故事讓我們對牛頓的天賦有了一些瞭解，因為約翰·伯努利花了兩週的時間才解出它。

圖3：牛頓手寫的捷線問題解決方案。

牛頓手寫解的翻譯是：

從給定點A出發，畫一條平行於水平面的無界直線APCZ，在這條直線上描述任意擺線AQP，在Q點上與直線AB相交（並在必要時延伸），然後另一個擺線ADC的底和高［as AC： AP］應分別為前一個的底和高AB到AQ。這條最近的擺線將穿過B點，成為一條曲線，在這條曲線上，一個重物在自身重量的作用下，最迅速地從A點到達B點。

要了解牛頓對上述解的詳細過程，請私信我。

最速落徑曲線

最速落徑曲線是一條位於二維平面上的曲線，有一個初始點A和一個終點B，僅受重力作用的一個質點從A點到B點時間最短的路徑。

求曲線的問題有以下假設：

曲線上沒有摩擦

質點開始時是靜止的

引力場是常數是g

圖4：A和B之間的一條可能路徑Γ

現代解

假設解是函式y=y（x），為了方便起見，我們選擇初始點A =（0，0）。最後一個點定義為B = （a， b）。由於質點最初處於靜止狀態，由能量守恆將得到：

式1：能量守恆

然後我們把dt寫成：

式2：用x和y表示的無窮小區間dt。

質點從A =（0，0）到B = （a， b）的總時間則為：

式3：質點從（0，0）到（a，b）的總時間間隔T。

數學物件T依賴於函式y（x），因此它被稱為泛函（函式的函式）。泛函只依賴於（一個或多個）變數，而不依賴於完整的函式。

我們要解決的問題是找出函式y（x）使總時間t最小。為此，我們需要學習一個叫做變分法的數學。

變分法

考慮一個函式ψ（x），ψ滿足以下條件，即ψ（x_0）=y_0和ψ（x_1）=y_1。考慮第二個非常接近第一個的函式，把它寫成：

式4：第二個函式，非常接近第一個，u（x）所滿足的條件。

請注意，關於ψ（x）的條件必須滿足上述關於u（x）的條件。

圖5：函式ψ（x）和另一個函式。

現在考慮以下函式：

式5：一個函式，其被積函式L顯式地依賴於x， y和y‘。

注意，透過改變L（x， y， y ’），我們得到了定積分S［y（x）］的不同值。現在我們考慮隨ψ（x）變化而變化的L：

式6：ψ（x）和ψ ‘ （x）變化時L的變化。

對兩邊積分，對第二項進行分部積分，利用u（x）所滿足的條件，得到積分S的變化量如下：

式7：積分S經過一個小的變化後的變化。

如果S是最小值，δS=0。由於u（x）是任意的，必須有：

式8：δS=0的必要條件。

當y（x）等於使L為極值的函式ψ（x）時，括號內的表示式消失。簡化符號，我們得到了著名的尤拉-拉格朗日方程：

方程9：尤拉-拉格朗日方程。

我們用它求出式3中最短的時間，其中：

式10：式3的被積函式，代入尤拉-拉格朗日方程式。

經過代數的幾步，我們得到以下微分方程及其相應的解：

式11：表示擺線的引數方程。

式中k為某常數（依賴於邊界條件），變數的變化如下：

式12：用來推導方程式11的變數的改變。

圖6：滾動圓周長上的一點產生擺線

這些引數方程描述了一個擺線，它是使T最小化的曲線，如下圖所示。

圖7：這個圖顯示了最速落徑的曲線是擺線。

牛頓的解

1699年，數學家、自然哲學家、天文學家、發明家、宗教活動家法蒂奧（ Fatio）發表了一篇論文“關於最速落徑曲線的雙重幾何研究”，其中包含了另一種解決捷線問題的方法。

圖8：法蒂奧的肖像

大衛·格雷戈裡要求牛頓簡化法蒂奧的解。這一節，我將描述牛頓的解。

圖9：牛頓和他傳送給大衛·格雷戈裡的解。

在圖10中定義了相關的量。我們首先寫出：

圖10：在法蒂奧-牛頓的解中使用的構造

現在，我們從基本運動學得知，下落的質點在x處的速度為：

式13：下落質點的速度與高度x有關。

質點沿著ENG移動所需的時間正比於：

式14：質點從E到G的時間。

現在定義：

式15：R²和S²的定義。

使總的時間t相對於q最小，經過一些簡單的代數運算，我們得到了一個擺線的微分方程，由式11給出。

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