什麼叫矩陣的秩，舉個例子

矩陣的秩是線性代數中的一個概念。線上性代數中，一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數，通常表示為r（A），rk（A）或rank A。

線上性代數中，一個矩陣A的列秩是A的線性獨立的縱列的極大數目。類似地，行秩是A的線性無關的橫行的極大數目。通俗一點說，如果把矩陣看成一個個行向量或者列向量，秩就是這些行向量或者列向量的秩，也就是極大無關組中所含向量的個數。

定義

在m*n矩陣A中，任意決定α行和β列交叉點上的元素構成A的一個k階子矩陣，此子矩陣的行列式，稱為A的一個k階子式。A=（aijm×n的不為零的子式的最大階數稱為矩陣A的秩，記作rA，或rankA或R（A）。特別規定零矩陣的秩為零。

例題

解下列線性方程組的解，

X一 2x2- x3 + 3x4=1

2x］ —4x2+ X3=5

X1- 2x2 + 2x3 - 3x4 =4

相應的簡化方程組為：

X一 2X2+入4，

x3— 2x4 = l

0=o

首非零元為1在第1列和第3列，所以對應的變數a和a3被稱為首變數（主要的變數），因為矩陣是行最簡階梯形，所以這些方程可以用係數非1變數cg和 a4來解首變數，即把 azg，z4看成自由變數。更準確地說，在這個例子中，我們設a2= s和4 = t，其中s和t是任意的，所以這些方程變成

X—2s +t =2

x3- 2t = l

最後方程組的解用引數s， t表示變成：

X=2+2s —t

2=S

X3=1+ 2t

X4=t

由於s， t是任意數，所以這個方程組有無窮解，上述過程中我們用了反代方法，即把x4當做已知的引數t， 然後帶入第三個方程，依次類推，得出每個變數，這種方法叫反代法。