高等數學一個重要的證明：用有限覆蓋定理證明聚點定理

老黃此前已經對實數完備性的六個基本定理：確界原理，單調有界定理，區間套定理，有限覆蓋定理，聚點定理，以及它們的同一性進行了介紹和多番證明，全部都在《老黃學高數》的各講影片中介紹過了。

其中第73講，利用確界原理證明了單調有界定理；在第213講，利用單調有界定理，證明了區間套定理；第221講，利用區間套定理證明了聚點定理；第219講用聚點定理的推論證明了柯西收斂準則的充分性；老黃還在番外章介紹了聚點定理直接證明柯西收斂準則的方法，其實道理是一樣的。第222講又利用柯西收斂準則證明了確界原理。這裡老黃再用有限覆蓋定理，證明聚點定理；這就形成了一個迴圈閉路，即用任何一個定理，都可以透過迴圈證明其它所有五個定理，因此它們是等價的。

問題：

試用有限覆蓋定理證明聚點定理.

有限覆蓋定理，簡言之就是指閉區間的無限開覆蓋，可以削弱為有限開覆蓋。聚點定理則是指有界無窮

點集

必有聚點。

證：設S為數軸上有界無窮點集, 則存在M>0, 使S[-M,M]，【

設S是數軸上有界無窮的點集，那麼就一定存在正數M，使S包含於［-M到M］。如果滿足不了，就把M取得更大，使其充分大就可以了。如果找不到這樣的M，那就說明S無界，矛盾。千萬不要把心思放在考慮這個M到底是什麼上。比如告訴你，這個世界上有一個人比你高，你會去糾結他到底是誰嗎？

】

若[-M,M]中任何點都不是S的聚點，則對每一個x∈[-M,M]，【

如果在這個閉區間上任何點都不是S的聚點，這是反證法應用的開始。要證明這麼說是錯誤的。

】

必存在相應的δx>0，使得U(x,δx)內至多有S的有限多個點.【

假如上面的說法是正確的，那麼這個閉區間上的任何一個點x，必存在對應的一個正數δx，使得U（x，δx）內都至多有S的有限多個點。

】