浮點數和定點數是如何被計算機儲存的？

日常開發更多用到的都是實數。如電商商品價格一般9塊9。

浮點數的不精確性

能不能用二進位制表示所有實數，然後在二進位制下計算它的加減乘除呢？

開啟Chrome的Console，輸入“0。3 + 0。6”的結果：

這麼簡單的一個加法，在JavaScript裡面，算出來的結果居然不是準確的0。9，而是0。8999999999999999，why？

計算機通常用16/32位元（bit）表示一個數。那32位元，能表示所有實數嗎？

顯然不能。32個位元，只能表示2^32個數，差不多40億。超過這個數，就會有兩個不同的數的二進位制表示相同 。計算機就會一籌莫展，不知道這個數到底是啥。

40億個數看起來很多，但比起無限多的實數集合也就渺小了。

到底應該讓這40億個數對映到實數集合上的哪些數，在實際應用中才能最划得來？

定點數

直觀想法，用4位元表示0～9的整數，則32位元即可表示8個這樣的整數。

然後把最右邊的2個0～9的整數，當成小數部分；把左邊6個0～9的整數，當成整數部分。這樣，我們就可以用32個位元，來表示從0到999999。99這樣1億個實數了。

這種二進位制表示十進位制的編碼方式，叫BCD編碼（Binary-Coded Decimal）。

最常用的是在超市、銀行這樣需要用小數記錄金額的情況裡。超市小數最多到分。這樣的表示方式，直觀清楚，滿足小數部分計算。

缺點

浪費

本來32個位元我們可以表示40億個不同的數，但是在BCD編碼下，只能表示1億個數，要精確到分，那麼能夠表示的最大金額也就是到100萬。

貨幣單位是人民幣或者美元還好，辛巴威幣數量就不夠用了。

無法同時表示很大的數和很小的數

有時候我們想要表示商品的金額，關心9。99這樣小數字；有時候，物理學運算，需要表示光速，即 3×10^83×108 這樣很大的數字。

有沒有一個辦法，既能夠表示很小的數，又能表示很大數？

浮點數

就是浮點數（Floating Point），即float型別。

在一張便籤紙上，用一行來寫一個十進位制數，能夠寫下多大範圍的數？

要讓人能夠看清楚，所以字最小也有一個限制：紙張的寬度限制了我們能夠表示的數的大小。如果寬度只放得下8個數字，還是隻能寫下最大到99999999這樣的數字。

這裡的紙張寬度，和32個位元一樣，是在空間層面限制。現實怎麼表示一個大數？

如想要在一本科普書裡，寫宇宙內原子的數量，莫非是用一頁紙，用好多行寫下很多0？

不，我們會用科學計數法表示，如

1。0×10^82

，而非寫82個0。

計算機也可採用類似辦法，用科學計數法表示實數。浮點數的科學計數法的表示，有個IEEE標準，定義了兩個基本格式：

32位元表示單精度的浮點數，即float或float32型別

64位元表示雙精度的浮點數，也就是我們平時說的double或者float64型別

單精度的32位元可分成三部分。

第一部分，一個符號位，表示正數or負數。一般用s表示。在浮點數里，我們不像正數分符號數還是無符號數，所有的浮點數都是有符號。

8位元組成的指數位。一般用e表示。8位元能表示的整數空間，就是0～255。這裡用1～254對映到-126～127這254個有正有負的數上。

浮點數，不僅想要表示大數，還希望能夠表示很小的數，所以指數位也有負數。

沒有用到0和255。沒錯，這裡的 0（也就是8個位元全部為0） 和 255 （也就是8個位元全部為1）另有它用。

23位元組成的有效數位。用f來表示

科學計數法的浮點數表示：

（-1）^s×1。f×2^e（−1）

s

×1。

f

×2

e

這裡的浮點數，無法表示0。要表示0和一些特殊數，就要用上在e裡留下的0和255，這兩個其實是標記位。

e=0 f=0時，就把這個浮點數認為是0：

如0。5的符號s應該是0，f應該是0，而e應該是-1，也就是

0。5= （-1）^0×1。0×2^{-1}=0。50。5=（−1）0×1。0×2−1=0。5，對應的浮點數表示，就是32個位元。

s=0，e = 2^{-1}

s

=0，

e

=2−1，需要注意，e表示從-126到127個，-1是其中的第126個數，這裡的e如果用整數表示，就是2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2^1=12626+25+24+23+22+21=126，1。f=1。01。

f

=1。0。

這樣的浮點數表示下，不考慮符號，浮點數能表示的最小數和最大數：

1。17×10^{-38}1。17×10−38

3。40×10^{38}3。40×1038

比前面的BCD編碼能夠表示的範圍大多了。

總結

這樣的表示方式下，浮點數能夠表示的資料範圍一下子大了很多。

因為這個數對應的小數點的位置“浮動”，才被稱為浮點數。隨指數位e值不同，小數點位置也在動。

對應的，前面的BCD編碼的實數，就是小數點固定在某一位的方式，我們也就把它稱為定點數。

為什麼0。3 + 0。6不能得到0。9？

因為，浮點數沒有辦法精確表示0。3、0。6和0。9。0。1～0。9這9個數，只有0。5能夠被精確地表示成二進位制的浮點數：s = 0、e = -1、f = 0。

而0。3、0。6、0。9，都只是近似表達。浮點數無論是表示還是計算其實都是近似計算。