好文分享“數感培養好 數學自然差不了”

遊利瑛：數感培養好 數學自然差不了

關於數感，分享兩個小故事：愛因斯坦的一位朋友給他打電話。末了，她要求愛因斯坦把她的電話號碼記下來，以便以後通話。“我的電話號碼挺難記。”“說吧，我聽著。”愛因斯坦並沒有拿起筆。“24361。”“這有什麼難記的？”愛因斯坦說，“兩打與十九的平方，我記住了。”愛因斯坦用的是聯想記憶法。當然，要想記的快、準、巧，也靠數感。

其實，鳥、老鼠、獅子、黑猩猩等動物和人類一樣，也擁有數感。

科學家做了個實驗：冬天裡，一群很飢餓的鳥，搜尋到一個小屋裡有穀粒，就從樹上飛進去吃。4個實驗人員在這時進入小屋，鳥受驚嚇紛紛從小屋的視窗飛回樹上，並在樹上觀察著小屋門口的動靜。過了一會兒，1個實驗員從小屋子裡走出，鳥靜觀不動，它好像知道“4-1=3，還有三個人沒出來”。過了一會兒，第2第3個實驗員也從小屋子裡走出來，小鳥還是不進小屋，而當第4位實驗人員從小屋裡走出之後，小鳥就從樹上飛進小屋，去享受美食。實驗證明，鳥會數數，有數感，但最多也只能數到4。

數感做為一種思維品質，已經受到人們的普遍關注。那麼，

一、何為數感呢？

數感，就是對數字的一種感覺。它與語感、方向感、美感等類似，都有一種“直感”的涵義，具有對特定物件的一種敏感性及相關的鑑別能力。

託拜厄斯。丹齊克將“數感”描述為：在個體沒注意到的情況下，在一小堆物體中增加或者移除一個物體後，個體能夠意識到這堆物體發生了變化的能力。數學家基斯。德夫林提煉了數感的定義，認為數感由兩個重要的部分組成：同時比較兩組物體多少的能力和及時記住連續呈現的物體數量的能力。

小學數學《課程標準》共提出了10個核心概念，第一個就是數感。《課程標準》還明確指出：數感這種能力的培養在於理解數的意義；能用多種方法來表示數；能在具體的情境中把握數的相對大小關係；能用數來表達和交流資訊；能為解決問題而選擇適當的演算法；能估計運算的結果，並對結果的合理性作出解釋。

可以說，數感是一種主動地、自覺地或自動地理解數和運用數的態度和意識，是一種基本的數學素養。

二、為何要培養數感呢？

數感培養是數學教學的重要目標之一，《課程標準》在不同學段中對孩子數感的培養都有明確的要求。大多數孩子將來不一定成為數學家或數學工作者，但每一個孩子都應建立一定的數感，這對他們未來的工作和生活都是有價值的。

1. 數感好有利於化解複雜計算

小學數學的練習和測試主要有填空、計算、操作、問題解決。數感不好的孩子計算速度慢，出錯率高，各種題型的解答都受影響。而數感好的孩子，動作迅速，思維敏捷，腦神經活躍，腦細胞死的少，計算負擔不重，還可以留出更多的時間去完成其它習題。如計算：11。11÷0。125。有的孩子選擇列豎式計算：

，用除數去除被除數。孩子先根據商不變的性質，將除數是小數的除法轉化成除數是整數的除法，再按照除數是整數的除法法則進行計算。這是常規演算法，過程繁、速度慢、容易錯。而數感好的孩子總能從整體把握，一下看出資料的特點，他也用轉化的方法，只不過是將小數0。125轉化成分數

，再根據“除以一個數等於乘這個數的倒數。”來進行計算，很快便能算出正確得數為88。88。

計算 5。25 ×101 ×2 - 10。5 數感不好的孩子是從左往右“死算”的，數感好的孩子是先算“5。25 ×2=10。5”再算“10。5 ×101 - 10。5”，而且想到“101個10。5減去1個10。5後是100個10。5”所以很快計算出本題得數為1050 。

六年級圓錐體積教學後的計算也體現孩子的數感能力。

如計算：

×3。14 ×1。5

2

×2÷（3。14 ×1

2

×0。5）數感不好的孩子想到的方法是從左往右算，一道題算半天，“認認真真地把題做錯”。而數感好的孩子想到的方法是：

原式=

=

= 3

非常快速、簡捷、高效。這樣的例子不勝列舉。

2、數感好有利於提高選判技巧

小學生的課後練習、單元測試、期終測評，選擇題總是佔有一定比重，並受各方青睞。因為選擇題是客觀試題，答案唯一，不僅能克服主觀因素干擾，還可以使用電腦閱卷。小學生的選擇題一般為單選題，就是“幾個選項中只有一個是正確的”。解答選擇題常用的一種方法就是排除法，即把不符合條件的答案排除，最後剩下的就是正確答案。例如：“□□6 ×□□7=（ ），答案可能是（ ）。 A。135792 B。4968 C。 44693 D。5792”數感好的孩子會分析：

① 6 ×7=42，積的個位一定是2，可以排除B和C。②三位數乘兩位數，乘積最多是五位數，可以排除A，所以，正確答案只能是D。

再如，“求8、8。75、7。25、8。25、7。75這五個數的平均數。正確答案是（ ）。A。8。95 B。 8 C。 7。2 D。不確定”。數感好的孩子會分析：①平均數介於一組資料的最大數和最小數之間，可以排除A和C。②平均數=總數÷份數，總數和份數都是確定的，結果也是確定的，可以排除D。所以，正確答案只能是A。驗證時，孩子懂得將第二個數“8。75”的小數部分移給第三個數“7。25”，將第四個數“8。25”的小數部分移給第五個數“7。75”。透過這樣移多補少，五個數都一樣（都是8），所以平均數就是8。驗證也體現了孩子數感的差異。

3、數感好有利於調整解難策略

數學離不開解題（解決問題），數感表現在“能為解決問題而選擇適當的演算法”（《小學數學課程標準》）。一個有豐富感悟的人，見到數時大腦會產生聯想，並經過綜合分析獲取重要資訊，而這種資訊對解題影響至關重要。如“在長12。4cm，寬7。2cm的長方形中剪一個半徑1cm的圓，能剪多少個？”

第一種方法：“12。4 ×7。2÷（3。14 ×1

2

）≈28（個）（不正確）”，不能用大面積除以小面積的方法，因為這樣邊角部分也被算進去了。

第二種方法如圖：

列式：12。4÷2≈6，7。2÷2≈3，6 ×3=18（個）（也不完全正確），因為，本題的資料陷阱孩子並沒有看出來。

第三種方法如圖：

第一列可以剪3個，共有7列，列式是：3 × 7=21（個）（也不正確），因為還不是“最多”。

第四種方法如圖：

從底層開始，第一行可以剪6個，往上依次是5個、6個、5個，列式是：6 × 2 + 5 ×2 = 22（個）（正確），故而總共是22個。

三、如何培養數感呢？

1．在數數和讀數中培養數感

數數是數感的第一部分，也是數感的基礎。數數的過程是孩子對數的認識過程，也可以培養孩子的數感。數數的方法很多，可以正著數，50、51、52、53、…，可以倒著數，96、95、94、93、…，可以跳著數，44、48、52、56、…，可以湊整數，12、88，27、73、48、52、…，可以拐彎數，78、79、（）；302、301、300、（）、298、…，可以一起數偶數，2、4、6、8、10、…，可以一起數奇數，15、17、19、21、…，可以一起5個5個數，25、30、35、40、…，在這樣數數的過程中，孩子對數會有更深刻的認識和理解。讀數也是孩子培養數感的有效方法，現在的計數器、手機、電腦都有讀數功能，任意輸入一個數，計數器等都能示範地把數讀出來，這對低年級孩子數感培養有幫助。也可以透過數獨遊戲、撲克牌遊戲、擲骰子游戲、數點數遊戲：

（ ）個點，

（ ）個點，

（ ）個點，等進行數數和讀數，培養孩子的數感。

2．在操作和實踐中培養數感

“動手最重要，這個東西能創造一切”（陶行知）。在數學學習中，要讓孩子學會動手操作。透過剪、拼、量、做、畫等手段，使眼、耳、口、手和腦等各種感覺器官協調動作，感知數學問題，獲取數學知識，從而培養學生的數感。

計數器上數，不同數位上的數表示的意義是不同的。可以讓孩子在計數器上撥出數，457、555、102、…，從中感受數的位值原理。

問：18 ×6=（），學生會說是108， 問：你能畫出來嗎？許多孩子也許就不會了。其實可以有多種畫法，

畫法一：

列式： 18 × 6 = 9 × 6+9 ×6=108

畫法二：

列式：18 × 6=9 ×6+9 ×6=108

畫法三：

列式：20 ×6 - 2 ×6=120 - 12=108

計算：1。2 × 1。25 =（ ），有的孩子會錯誤列成：1。2 × 1。25 = 1 ×1+ 0。2 × 0。25=1。05，當出現這樣的錯誤時，教師除了引導孩子用估一估的方法進行檢驗外，也可以讓孩子嘗試動手畫一畫：

。畫出來後，就會發現，這樣的列式少算了兩塊空白部分的面積，因此是錯誤的。

“數缺形時少直觀，形少數時難入微”（華羅庚）。當孩子們能動手操作，嘗試畫出平方數：

矩形數：

三角形數：

立方數：

時，就更容易明白1+3+5+7+9=5 ×5=25，2+4+6+8+10=5 ×6=30等等式題的道理了。

3．在計算和解題中培養數感

數感可以在計算教學過程中培養。在計算的過程中，可以先讓孩子進行估算、口算、簡算、巧算等訓練，培養數感。在筆算除法兩位數除三位數“256÷26”中，可以引導孩子透過調整除數“把26看作30或25”來試商，也可以透過調整被除數“把256看作260”來試商，也可以看除法想乘法 “26 ×10=260”來試商，並透過編記順口溜“筆算除法要試商，第一試的叫初商，一試就對太喜歡，一試不對不要謊，馬上著手來調商，調到餘（數）比除數小，（OK）這個就是真的商。”來提高孩子的學習樂趣。

數感可以在問題解決教學中培養。如100千克的黃豆可以榨出25千克的油，問，每千克的黃豆可以榨多少千克的油？教師可以引導孩子思考：100千克的黃豆可以榨出25千克的油，也就是4份的黃豆可以榨出1份的油。那麼，1千克的黃豆榨出的油應該比1小，而如果算出1千克的黃豆可以榨出4千克的油，顯然就鬧笑話啦。

小數除法“王鵬堅持晨練，計劃4周跑步22。4千米，他平均每週跑步多少千米？”教師可以引導孩子先估一估王鵬每週跑的千米數。因為22。4介於24與20之間，24÷4=6，20÷4=5，所以它每週跑的千米數應該在6至5千米之間。如果計算後的結果不在此範圍內就說明不正確了。

雞兔同籠問題是一種模型。在教學“雞兔共有47只，共有111只腳。問雞幾隻？兔幾隻？”時，不凡先對孩子進行如下測試。題1：“雞兔共有47只，共有115只腳。問雞幾隻？兔幾隻？”題2：“雞兔共有47只，共有92只腳。問雞幾隻？兔幾隻？”題3：“雞兔共有47只，共有192只腳。問雞幾隻？兔幾隻？”。這三道題都是不可能存在的（題目有錯），旨在培養孩子的數感和思維的靈活性。題1的錯誤在於不可能是奇數腳（通常情況）。題2的錯誤在於腳的只數不可能低於94只。題3的錯誤在於腳的只數不可能高於188只。

問題解決的開放式訓練可以使孩子產生縱橫聯想，培養數感。因此，教學時也可以啟發孩子一題多解、一題多變、一題多思，對同一個問題做多種思考。

數感培養好，數學自然差不了，這話不假。然而，孩子數感的培養和建立也不是一蹴而就的，它是高度個性化的產物，是一個潛移默化的過程。在教學中，教師要把培養數感的任務落實到教學的每一個環節，並充分利用孩子身邊的素材，真實的情境，讓孩子去感知、探索和發現，從而為學好數學打下良好基礎。