“√2是無理數”證法6；不等式的基本性質；連分數

歐幾里得88、“√2是無理數”證法6；不等式的基本性質；連分數

√2是無理數…

證法6：

“假設√2=a/b，其中右邊是最簡分數，即在所有等於a/b的分數中，a是最小的正整數分子…”寂寞de小老鼠說。

…寂寞de小老鼠：網友網名，見《歐幾里得83》…

“在a2=2b2（a的平方=2×b的平方）的兩邊減去ab有a2-ab=2b2-ab（a的平方-ab=2×b的平方-ab），a（a-b）=b（2b-a），即√2=a/b=（2b-a）/（a-b）…”寂寞de小老鼠接著說。

“右邊的分子2b-a＜a，這與a是最小的分子矛盾，因此√2是無理數…”寂寞de小老鼠最後說。

…已知√2=a/b，a、b是正整數，比較2b-a與a的大小。

∵ √2=a/b

∴ √2b=a

將√2b=a帶入2b-a與a中，得：

2b-a=2b-√2b=（2-√2）b

a=√2b

比較2b-a與a的大小，等於比較（2-√2）b與√2b的大小。

比較（2-√2）b與√2b的大小，等於比較（2-√2）與√2的大小。（此處運用了不等式的基本性質。）

∵ 2-√2＜√2

∴ 2b-a＜a

不等式的基本性質：不等式就是用大於（＞），小於（＜），大於等於（≥），小於等於（≤）連線而成的數學式子，它一般有如下八個基本性質：

1。如果x＞y，那麼y＜x；如果y＜x，那麼x＞y；（對稱性）

2。如果x＞y，y＞z；那麼x＞z；（傳遞性）

3。如果x＞y，z為任意實數或整式，那麼x+z＞y+z，即不等式兩邊同時加或減去同一個整式，不等號方向不變；（加法單調性，即同向不等式可加性）

4。如果x＞y，z＞0，那麼xz＞yz，即不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個大於0的整式，不等號方向不變；（乘法單調性）

5。如果x＞y，z＜0，那麼xz＜yz，即不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個小於0的整式，不等號方向改變；（乘法單調性2）

6。如果x＞y，m＞n，那麼x+m＞y+n；（加法單調性2）

7。如果x＞y＞0，m＞n＞0，那麼xm＞yn；（乘法單調性3）

8。如果x＞y＞0，那麼x的n次冪＞y的n次冪（n為正數），x的n次冪＜y的n次冪（n為負數）。（正值不等式可乘方；正值不等式可開方）…

證法7：連分數法

“因為（√2+1）（√2-1）=1，因此√2-1=1/（1+√2），√2=1+1/（1+√2）…”寂寞de小老鼠說。

“√2=1+1/（1+√2），將分母中的√2用‘1+1/（1+√2）’代替，有√2=1+1/（1+1+1/（1+√2））=1+1/（2+1/（1+√2））…”寂寞de小老鼠接著說，“不斷重複這個過程，得√2=1+1/（2+1/（2+…）） ”

“這是一個無限連分數，而任何有理數都可以表示為分子都是1、分母為正整數的有限連分數，因此√2是無理數…”寂寞de小老鼠最後說。

“奠基最初的意思是在打地基蓋房搞建築或一切破土動工的時候，選擇一個吉時，向在此地埋葬的無主墳或者一切生靈祭奠，告知他們將於此地破土動工，請他們知悉並諒解或遷徙他方…

請看下集《

歐幾里得89、構圖法；“奠基”的淵源；數學概念：單位

》”

若不知曉歷史，便看不清未來

歡迎關注頭條號“人性的遊戲”