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不用仰望數學大神，利用九張動圖掌握高中數學最美斜積定值

由考試微課堂發表于武術
2021-12-12

簡介並且是定值是-b^2a^2這裡給出橢圓結論的證明，不感興趣的同學可以跳過小妙招：（這裡可以把圓看成a=b的橢圓，所以只要記住橢圓的結論，圓的結論就自然記住了）A、B是關於雙曲線的中心對稱的兩個動點，P是雙曲線上任意一動點，則動點P對A、B

斜圓錐體積公式是什麼

上週日，一位高三的同學過來問我，老師：這道題出的也太嚇人了，一共三個點，還全是動點，然後給出的斜率和離心率能有什麼關係？簡直是毀三觀啊！我看完題後，問他：“答案是不是D？”“老師，你必須是做過啊！記答案也是蠻厲害的！”我回答：“當然不是記答案，這個題心算完全可以！”

圓錐曲線的問題中隱含著很多定值，記住這些定值的相關結論，很多問題都可以直接秒殺。由於圓錐曲線的形成是在兩個倒圓錐上做截面而形成的曲線，所以圓也是圓錐曲線的一份子，今天我們把圓，橢圓和雙曲線放在一起，研究一下他們中間的定值問題。

中心對稱，斜積定值

A、B是關於圓的圓心對稱的兩個動點，P是圓上任意一動點，則動點P對A、B兩點的斜率之積為定值。

並且是定值是-1

A、B是關於橢圓的中心對稱的兩個動點，P是橢圓上任意一動點，則動點P對A、B兩點的斜率之積為定值。

並且是定值是-b^2/a^2

這裡給出橢圓結論的證明，不感興趣的同學可以跳過

小妙招：（這裡可以把圓看成a=b的橢圓，所以只要記住橢圓的結論，圓的結論就自然記住了）

A、B是關於雙曲線的中心對稱的兩個動點，P是雙曲線上任意一動點，則動點P對A、B兩點的斜率之積為定值。

並且是定值是b^2/a^2

小妙招：（這裡可以利用影象看兩直線的斜率的正負，發現橢圓中兩條直線的斜率總是一個正一個負，而雙曲線中兩條直線的斜率總是同時正或同時負，故而它們的定值會差一個負號，記住橢圓的定值後，自然雙曲線的定值就呼之欲出了！）

有了這三個結論，就到我們大顯身手的時候了。

先看文章開頭的這道題：

分析：這道題完美符合了這個定值結論，再套用離心率的公式，求出答案就是一瞬間的事兒。

因為這兩個公式，不需要依靠a和c的關係，只依靠a與b的關係就足夠求出離心率了。

練習

分析：此題和上一題比較稍有變形，但是難度並不大，這道題只需要把已知條件中的tan值換成斜率即可，注意：tan

∠PF

的值雖然是2，但是它對應的直線的斜率應該是-2，否則計算時容易出錯！

分析：此題要用到該結論的退化版，點A和點B已經是雙曲線的左右頂點，不再是動點，所以直線PA和PB的斜率之積依然是定值。那麼，這道題的取值範圍只需要求出k3的範圍就可以。由影象可知，當直線PO平行於x軸時斜率是0，當直線PO接近於雙曲線的漸近線時，斜率達到最大，此時斜率是b/a，並且兩個時刻都是不能取到相等的，所以答案都是開區間，代入計算即可得出正確選項。

分析：此題利用橢圓中的定值結論，同時此題也是該結論的退化版，M和N分別是左右頂點，但是不影響定值，可以求出直線PM和直線PN的斜率之積，（用a和b表示）。對於|k1|+|k2|最小值為1的問題，結合均值不等式可以解出a與b的關係，進而求出離心率。

分析：此題兩條直線的斜率用m和n表示，透過結論能求出mn是定值，把題中的mn都用AB表示（需要用到對數的加法），然後令a/b=t，得到關於t的函式，在利用導數工具求出該函式取最小值時t的值，進而求出離心率。

分析：根據本講的結論可知，直線QA1和直線QA2的斜率之積是定值，為-5/9。由於平行四邊形OPQR，所以直線OT和直線OS的斜率之積也是-5/9，可以依題意設其中一條直線（OS）的斜率是k1，透過直曲聯立解出S點座標，再利用橢圓的對稱性，直線OT就無須再次進行聯立，只需用k1去表示k2，把題點座標中的k2，相應的全部替換成k1即可，再利用兩點間距離公式可以求出答案。

記住了以上三個結論，這三組數並不白記，在圓錐曲線關於弦的中點的問題中，這三個數值還會再次呈現，由此，我們進入下一組定值問題！

弦之中點，斜積定值

圓的弦的斜率與其中點和圓心連線的斜率之積為定值，且定值為-1。