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中考數學：線段垂直平分線的幾種應用
- 由 鄭老師數學課堂 發表于 足球
- 2021-12-20
垂直平分線怎麼算
線段的垂直平分線與線段的兩種關係：位置關係——垂直，數量關係——平分，利用線段垂直平分線的性質可以求線段的長度、角的度數等，還可以解決實際生活中的選址問題等。今天我們將介紹幾種線段垂直平分線的應用。
應用一：應用線段垂直平分線的性質求線段的長
例1：如圖，△
ABC
中，
AB
、
AC
的垂直平分線交
BC
於點
D
、
E
，已知△
ADE
的周長為12
cm，求BC
．
例1圖
【分析】先根據線段垂直平分線的性質得出
AD
＝
BD
，
AE
＝
CE
，再根據
AD
+
DE
+
AE
＝
BD
+
DE
+
CE
即可得出結論．
【解答】解：∵
DF
、
EG
分別是線段
AB
、
AC
的垂直平分線，
∴
AD
＝
BD
，
AE
＝
CE
，
∴
AD
+
DE
+
AE
＝
BD
+
DE
+
CE
＝
BC
，
∵△
ADE
的周長為12
cm
，即
AD
+
DE
+
AE
＝12
cm
，
∴
BC
＝12
cm
．
【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質，即線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等．
例2：如圖，已知
AB
比
AC
長3
cm
，
BC
的垂直平分線交
AB
於點
D
，交
BC
於點
E
，△
ACD
的周長是15
cm
，求
AB
和
AC
的長．
例2圖
【分析】根據線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等可得
CD
＝
BD
，然後求出△
ACD
的周長＝
AB
+
AC
，再解關於
AC
、
AB
的二元一次方程組即可．
【解答】解：∵
DE
是
BC
的垂直平分線，
∴
CD
＝
BD
，
∴△
ACD
的周長＝
AC
+
AD
+
CD
＝
AC
+
BD
+
AD
＝
AC
+
AB
，
由題意得AB-AC=3，
AB+AC=15
解得：AB=9，AC=6
∴
AB
和
AC
的長分別為9
cm
，6
cm
．
【點評】本題考查了線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質，解二元一次方程組，熟記性質並求出△
ACD
的周長＝
AC
+
BC
是解題的關鍵．
應用二：應用線段垂直平分線的性質求角的度數
例3：如圖，在等腰三角形
ABC
中，
AB
＝
AC
，
DE
垂直平分
AB
，已知∠
ADE
＝40°，求∠
DBC
例3圖
【分析】根據線段垂直平分線求出
AD
＝
BD
，推出∠
A
＝∠
ABD
＝50°，根據三角形內角和定理和等腰三角形性質求出∠
ABC
，即可得出答案．
【解答】解：∵
DE
垂直平分
AB
，
∴
AD
＝
BD
，∠
AED
＝90°，
∴∠
A
＝∠
ABD
，
∵∠
ADE
＝40°，
∴∠
A
＝90°﹣40°＝50°，
∴∠
ABD
＝∠
A
＝50°，
∵
AB
＝
AC
，
∴∠
ABC
＝∠
C
＝65°，
∴∠
DBC
＝∠
ABC
﹣∠
ABD
＝65°﹣50°＝15°，
【點評】本題考查了等腰三角形的性質，線段垂直平分線性質，三角形內角和定理的應用，能正確運用定理求出各個角的度數是解此題的關鍵，難度適中．
例4：如圖，在Rt△
ABC
中，∠
C
＝90°，
AB
的垂直平分線交
BC
於
D
，連線
AD
．若
AD
將∠
CAB
分成兩個角，且∠
CAD
：∠
DAB
＝2：5，求∠
ADC
的度數．
例4圖
【分析】由
DE
是
AB
的垂直平分線，根據線段垂直平分線定理得到
AD
＝
BD
，根據等邊對等角得到∠
ABD
＝∠
BAD
，又∠
CAD
：∠
DAB
＝2：5，可設∠
CAD
＝2
x
，∠
DAB
＝5
x
，根據直角三角形的兩銳角互餘，可得∠
CAD
+∠
DAB
+∠
ABD
＝90°，列出關於
x
的方程，求出方程的解得到
x
的值，確定出∠
DAB
與∠
ABD
的度數，又∠
ADC
為三角形
ABD
的外角，根據三角形的外角等於與它不相鄰的兩內角之和，由∠
DAB
與∠
ABD
的度數之和即可求出∠
ADC
的度數．
解：∵
DE
是
AB
的垂直平分線，
∴
AD
＝
BD
，
∴∠
BAD
＝∠
ABD
，
∵∠
CAD
：∠
DAB
＝2：5，
設一份為
x
，即∠
CAD
＝2
x
，∠
DAB
＝∠
ABD
＝5
x
，
又∠
C
＝90°，
∴∠
ABD
+∠
BAC
＝90°，即2
x
+5
x
+5
x
＝90°，
解得：
x
＝7。5°，
∵∠
ADC
為△
ABD
的外角，
∴∠
ADC
＝∠
DAB
+∠
ABD
＝5
x
+5
x
＝10
x
＝75°
【點評】此題考查了線段垂直平分線定理，等腰三角形的性質，以及三角形的外角性質，要求學生藉助圖形，多次利用等量代換的方法，達到解決問題的目的，同時對於比例問題，一般情況設每一份，表示出各角，利用三角形的內角和定理列出方程，進而求出各角的度數．
應用三：應用線段垂直平分線的性質解決實際問題
例5：某城區規劃局為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區
A
，
B
，
C
（如圖所示） 之間建購物商場，該購物商場建在何處才能使這三個住宅小區的居民到該購物商場距離相等？
（1）在圖中用尺規作圖確定購物商場的位置（簡述作法，並說明作圖依據）；
（2）證明你所確定的位置到三個住宅小區的距離相等．
例5圖
【分析】（1）根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，連線
BC
、
AC
，△
ABC
兩邊垂直平分線的交點就是花園的位置；
（2）利用垂直平分線的性質證明即可．
【解答】（1）解：連線
AB
，分別以
A
、
B
為圓心，大於
AB
為半徑畫弧，兩弧交於兩點，連線這兩點即是作
AB
的垂直平分線；
同理連線
BC
，作出
BC
的垂直平分線，兩條直線交於點
P
，則點
P
就是商場的位置；
（2）證明：如圖，
連線
PA
、
PB
、
PC
，
∵
PF
、
PQ
是
BC
、
AB
的垂直平分線，
∴
PB
＝
PC
，
PB
＝
PA
，
∴
PA
＝
PB
＝
PC
．
【點評】此題主要考查了應用設計與作圖，利用線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質解決問題．
應用四：應用線段垂直平分線的性質判斷兩線的位置關係
例6：如圖，
OE
，
OF
分別是△
ABC
中
AB
，
AC
邊的中垂線（即垂直平分線），∠
OBC
、∠
OCB
的平分線相交於點
I
，試判定
OI
與
BC
的位置關係，並給出證明．
例6圖
【分析】首先連線
OA
，過點
I
作
IM
⊥
OB
於點
M
，過點
I
作
IN
⊥
OC
於點
N
，過點
I
作
IG
⊥
BC
於點
G
，由
OE
，
OF
分別是
AB
，
AC
邊的中垂線，可得
OA
＝
OB
＝
OC
，又由∠
OBC
，∠
OCB
的平分線相交於點
I
，可得點
I
在∠
BOC
的角平分線上，然後由三線合一，證得結論．
【解答】解：
OI
⊥
BC
．
理由：連線
OA
，過點
I
作
IM
⊥
OB
於點
M
，過點
I
作
IN
⊥
OC
於點
N
，過點
I
作
IG
⊥
BC
於點
G
，
∵
OE
，
OF
分別是
AB
，
AC
邊的中垂線，
∴
OA
＝
OB
，
OA
＝
OC
，
∴
OB
＝
OC
，
∵∠
OBC
，∠
OCB
的平分線相交於點
I
，
∴
IM
＝
IG
，
IN
＝
IG
，
∴
IM
＝
IN
，
∴點
I
在∠
BOC
的角平分線上，
∴
OI
⊥
BC
．
【點評】此題考查了線段垂直平分線的性質以及角平分線的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．