形數結合，藉助等量關係構建方程，以代數方法解決線段程度很簡單

形數結合是中學數學中極其重要的解題思想，很多問題透過形與數的相互轉換，可以很容易得到解決。

在幾何線段長度的求解上，當相似圖形不易尋找，或者不易找出數量關係的時候，如果透過尋找合適的等量關係，將問題轉化為代數中對應的方程問題，是中考常見的思路之一。

下面我們透過題目來具體講述一下這種思路。

Rt△ABC中，∠A等於90度，AB=12，BC=13，在AC的延長線上有一點D，連線BD，∠CBD=45°，求CD的長。

見附圖。

我們分析一下，直角三角形的一條直角邊以及斜邊都給出了，它的形狀就是確定的，B點的位置也一樣確定了，那麼CD的長度就與所給的角度密切相關。

角度越小，CD越短，角度越大，CD越長。

現在題目給出的是45°，一個特殊角，我們怎麼利用呢？

在三角形中，求線段長度最常用的辦法無非兩個，一個是構造全等三角形，另一個就是利用相似三角形的相似比，得出所求線段與已知線段的比例關係。

這個題目中，只有一大一小兩個直角三角形，要構造全等可不容易，所以我們考慮構造相似，畢竟已經有一個90°的角了嘛。

此題對於利用相似三角形來做，大家都比較熟悉了。不管是在C點做垂線，還是在D點做垂線，這個45°角都可以利用到，按照相似比將線段長度求解出來。

具體的兩種輔助線做法見下圖。

如果我們利用數形結合，尋找出等量關係，將幾何的長度問題轉化為求方程的解，一樣可以解決。

在認知一個事物時，兩個不同觀察角度是等量關係，同樣，同一個角度的兩種不同表達方式一樣構成等量關係。

在這個題目中，△CBD的面積是固定不變的，如果我們用兩種方法將這個面積表達出來，等量關係也就出來了。

眾所周知，三角形的面積是底與高乘積的一半。我們如果分別取BD和CD為底，乘以相應的高，是不是也得到一種等量關係？

首先，我們以BD為底，那麼從C點向BD做垂線，垂足為E，那麼線段CE就是BD邊對應的高了。

在三角形CEB中，由已知條件45°角可知，得到CE的長度就是二分之一十三倍的根號二。

有了底和高，就可以表示出△CBD的面積，S△CBD=BD×CE。

BD的長度與所求線段CD長度有關，我們不妨設CD長為X，在大三角形ABD中利用勾股定理，可以得到BD長度。

代入可得S△CBD的面積表示式。

這個面積先放在這裡，再以CD作為△CBD的底，那麼AB就是高，面積就很容易表達，就是S△CBD=CD×AB=6（X+5）。

聯立面積的這兩種表達方式，代入數值，兩邊平方、整理，可得方程119X2-1690X-1692=0。

解這道題目的難點就在這個方程上，因為數確實比較大，很容易讓人懵圈。

大家留意一下，式子一次項的係數是10倍的169，而常數項是169的平方，如果我們將常數項拆成169乘以169，而且是一正一負，再能將二次項的係數拆成幾乘以十幾，那麼十幾個169減去幾個169，是不是隻剩下10個169，就等於一次項的係數了？

二次項係數是119，相同的數相乘，個位數是9的數只有3和7，那麼拆分出的這個幾，只可能是3或者7。

嘗試一下，拆成3×13，結果是39，這個不行。

那拆成7×17呢，正好是119，這就妥了，方程就變成了（7x-169）（17x×169）=0，就可以求出X等於，負值捨去。

這種做法的難點在於要有較強的分解因式的能力，不要一看到數很大就亂了分寸，希望能好好體會169看成一個不變值的做法。