如何學好高中數學？——我的高中數學第一課

在開始我們的講座之前，首先請大家思考一個問題：

什麼是數學？

可以說，數學並不是我們認識中的加減乘除、函式、方程和平面圖形，這些都是數學作為知識層面的一部分，如果我們從一個整體的角度是看待數學，從數學與其他學科的關係角度去看待數學，我們自然可以得到一個結論。

著名數學家華羅庚在《人民日報》精彩描述了數學在“

宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁

”等方面無處不有重要貢獻。

也正因為如此，數學才能夠稱之為“學問的基礎”。

為什麼大家在初中時，初二才開物理，初三才學化學，就是因為物理、化學需要數學工具的支撐，沒有數學工具，大部分理科都是無本之源，無法深入研究。

當然也不僅僅如此，數學對於我們個人而言，也有這極其重要的作用。

一方面是我們處理現實問題的需要。

比如在中國古代，我們知道有君子六藝——禮樂射御書數。

其中的數有九數（方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、盈不足、旁要），可以說就是解決在日常生產生活中所遇到的實際問題。

這是一個古代合格的“君子”——

統治者所必備的能力

。

另一方面數學學習也能夠鍛鍊、培養我們作為現代公民的素養。

不知道大家是否考慮過這麼一個問題，我們從幼兒園開始，小學、初中、高中乃至大學，這一二十年間國家要求我們一直學數學，花費了大量的財力培養數學教師、開設數學課程、開發數學教材，為什麼？

如果只是讓大家能夠買菜、算賬，完全沒有必要學習這麼多的數學知識啊！

因為數學是大量現代工作所必須具備的能力，比如大量的理工科專業，不管是建築、機械、生化環材還是計算機、金融，都需要高等數學知識的支援。

同時數學又能夠潛移默化的培養我們的公民基本素養！

比如學習數學可以使你的思維變得有條理。

數學是最考驗，最鍛鍊邏輯思維的科目，透過學習數學，使得你在處理問題時，自然而言的就會講求邏輯，做事有條不紊，層次清晰、重點分明。

就比如我做這個PPT，也是要有一定的思路——首先幫助大家認清楚什麼是數學、明白數學不管對社會還是對我們自身的價值，然後是介紹初高中數學的差別，之後再給大家介紹高中數學應該如何學習。

這就是所謂的條理和邏輯。

對於其他學科的學習而言，邏輯能力也是很重要的，就比如看上去和數學最風馬牛不相及的語文，我們現在的中、高考試卷中有大量的閱讀理解問題，這些問題解決的底層能力是什麼？

是邏輯能力！

語文試卷中分值最高的那一部分——作文，不管是破題還是寫作，都需要看什麼？

邏輯！

曾經有一位比較厲害的語文老師告訴我說過：理科強的同學如果願意去學語文，反而是分數提升最快的群體！

根源就在這裡！

再比如數學能使你變得理性客觀。

數學是不講感情的，不會因為你愛它或者出於同情就多給你幾分，也不會因為你討厭它就專門為難你少給你幾分。

天行有常，不為堯存，不以紂亡。

數學只講邏輯，公理、定理、公式才是你解決問題的依據。

學過數學，你就會在看待問題的時候就能夠

儘量排除感情和主觀感受的影響，理性的分析，客觀的對待

，不會摻雜太多的個人感情和衝動，能夠更好的理解、接受所處的環境，也能夠更客觀的看待問題，反而有助於你去解決問題。

舉個例子，我們會在不久的將來面臨選科的問題。

歷史和物理你選誰，政治、地理、生物、化學，你選哪科？

是發揮自己的擅長之處？是考慮到現實的就業趨勢？還是遵從個人的意願、愛好？亦或是跟著朋友們隨大流，甚至為了某些感情因素去決定自己的選科？

此時最需要的就是客觀、冷靜，因為這關係到你的未來相當長一段時間的人生。

客觀、冷靜不一定能讓你選出一個最好的選擇，但會選出一個讓你不後悔的選擇。

……

類似的內容我可以說上很多，可是客觀、冷靜的我覺得再這麼寫下去大家就沒有耐心看了，還是剋制一下自己的說教慾望，繼續迴歸正題，聊一點功利性的內容。

比如高考。

在高考中，數學是實打實的150分！

數學成績可以說是你位次的風向標，數學好，則總分扶搖直上，位次遙遙領先，

數學是最容易拉開差距的一門課。

所以哪怕是為了將來的高考成績，我們也需要在高中階段極為重視數學。

那麼高中數學到底有哪些內容呢？我們到底要學什麼呢？

（我們這裡使用的是北師大版教材，如果是人教版，需要把必修一種的機率統計替換成三角函式，相對任務更重一些。）

我們在這裡著重來看看高一上學期我們需要學習哪些？

在這個學期，我們要學習的就是

必修一的全部內容

，其

重難點以及核心知識主要集中在第一章到第五章，也就是預備知識+函式內容

。

這不僅是高一上學期的重點，

甚至是整個高中數學的重點和基礎

。

而且透過目錄我們就會發現，高中數學涉及到的知識內容很多，而且

我可以負責任的告訴大家，沒有不重要的內容

。

這是和初中不同的地方。

初中數學我們會發現它是成條狀排布的，是一脈相承的螺旋上升。

同一個體系的知識你在三年都要學，你越往上學，學得東西越難、越重要，中考中出現的機率越大，分值越高。

但高中數學不同，因為高中數學是面狀的

，因為知識種類很多，集合、不等式、函式、向量、立體幾何、解析幾何、數列、機率統計、複數，這些內容並沒有一個相對明顯、清晰的聯絡，各自獨立，只是

根據一定的大的框架進行了安排，放在高一、高二兩個學年去學習

，所以

高一學得內容不僅很重要，也不是最簡單的內容，甚至相當有難度，尤其是函式！

這是一個高考數學試卷中各部分知識分數佔比的大致統計，這裡的函式是一個大概念，包含了函式、指數函式與對數函式、函式的應用、導數、三角函式、數列等內容，可謂佔了高考分值半壁江山。

下面我們就來看看初高中數學之間到底有什麼差別

？

（一）從初中到高中，數學學習出現了“高臺階”

初中數學幾乎就是

小學數學的延續以及初步的體系化

，而高中數學則主要被安排為

大學高等數學課程的預備知識

。

前者主要由初等代數、平面幾何，與數理統計的最基礎內容三部分構成。而後者則分別由

集合論、函式論、不等式、三角函式、向量代數、演算法、數理邏輯、立體幾何、解析幾何、微積分、統計與機率、複數的基礎部分

拼湊而成。

相比而言，初中數學實際上就是小學算術與簡單幾何圖形的延續；而高中數學則是一門“初等”高等數學，全景式的展示了數學的風貌。

這就導致高中數學相對於初中而言，課程難度陡然增大。

比如新教材北師大版，除了一開始的一兩章銜接部分之外，上手就是基本初等函式，

知識難度高，理解難度大

，基本上就和初中難度最高的函式知識差不多，甚至難度更高

；

知識容量大，難以全面掌握，

一章的知識點基本上可以頂上初中的一本；

知識深度、廣度對學生的能力的要求很高，

不像初中只需要瞭解，高中是必須要理解前因後果，才能應用

；

節奏很快，要求能夠快速的接收、消化、理解、應用，

基本上不會等你，兩節課一節的進度基本上雷打不動；

對計算能力和思維能力的要求也非常高

。

（二）初高中數學知識的脫節

初高中教材存在許多需要銜接之處，立方和（差）公式、十字相乘法、簡單的分組分解法、高次多項式分解、分子（母）有理化、可化為一元二次方程的分式方程、含絕對值的方程等等，許多知識點在初中已經弱化或刪減而高中還在用。

（三）高中數學語言的抽象性阻礙學生的理解

初高中數學在語言表述上存在比較大的差別，初中的概念相對

簡單、直觀

，類似於口頭語言；

而高中的概念就比較

抽象

，類似於文言文，比如函式中的一些概念。

這就導致學生有時候很難理解。

例如，在學習函式性質——

單調性、奇偶性、週期性

的概念時，高中教材在定義的描述上就採用了比較抽象的形式，並要求學生熟練

掌握推理、證明

和運用數學知識來解決問題。

單調性的定義

數列中

等差數列、等比數列

的

定義

也是如此。

初中數學內容的抽象化程度較低，更多的直觀、具體、形象描述，這有利於學生掌握基礎知識．但有些學生對於數學的認知就會比較膚淺，步入高一後理解不了、接受不了，出現了學習障礙．

（四）初高中數學在解題思維方式中的區別

初中數學的題目簡單直接，大部分題目是條件——嘣！——得到結論。

高中數學的題目更復雜，很好有這種直來直去的題目，

多條件、多知識點綜合、含參討論、長思維鏈

，按步給分讓過程也變得非常重要，更考察學生在

解題構成中思維的廣度和深度

。

導數解答題答案節選

舉個例子，初中是“

這種條件就應該這樣用？

”，高中就是“

這種條件應該怎麼用？為什麼要這樣用？

”

（五）初高中數學在課堂教學容量上的差別

高中數學教學是典型的“紙短情長”——課本上內容少，實際教學中需要填充的內容多，這就使得高中數學的授課任務又相當大，對進度要求很高，這就使得老師在課堂教學中需要兼顧量與速度兩者。

這就勢必使得在課堂教學容量很大——

知識點密集，題型多且難，且不能像初中那樣花太多時間去圍繞同一題型反覆打磨，很多時候一些常規題型都是老師點一點思路便一帶而過，然後就下一個，只有一些複雜的題目會具體的詳講，但仍然以思路為主。

（六）初高中數學在對學生自學能力要求上的差別

正是由於高中數學教學的高節奏、大容量，一個不爭的事實是，並不是每一個學生都能夠在課堂上全部掌握所有知識，完美消化所有題型。

可以說相當一部分學生對於課堂內容的掌握都是不完美的，集中體現在對概念認知的不具體，對題型解法的不熟練甚至陌生，對解題方法背後的思路探究不深入，對題型掌握的不全面。

初中數學也會如此，但是初中數學有老師不厭其煩的總結、歸納和練習，高中當然也會有，尤其是好學校會準備大量的小專題練習。

但高中和初中極大的一個區別是，

高中數學是把個性化的查漏補缺與學習讓渡給學生的

，那麼你能不能做到主動的學習，有意識的解決問題，也就是你是否有比較強的自主學習的意識與能力，願意去想辦法克服苦難，就是影響你高中數學學習的一個重要因素。

那麼，學好高中數學需要做些什麼？

這是一個老生常談的問題，甚至會充滿你們厭惡的陳詞濫調。

但是，大家請想一想，為什麼一代代老師都反覆強調這些東西，他們也曾經年輕過，也曾經對這些要求不屑過，為什麼迴歸學校從事教師這一職業後，也開始強調這些要求呢？

因為經典永不過時啊！

來，我們看看有哪些經典的教學常規。

首先就是預習。

這裡的預習並不是我經常在文章中的超前學習，超前學習是一種策略，預習則是一種技術。

那麼，你的預習技術到底怎麼樣？

對於數學而言，面對課本，你不可能去把教材背一遍，甚至如果僅僅是看的話，兩三分鐘就看完了，看完之後毫無印象，一頭霧水。

預習首先要學概念、公式。

要明白這些概念、公式的來龍去脈，如何推導，有什麼需要注意之處。

如果不是起始課，

要把概念放在這一章的體系內去理解，建立前後聯絡，甚至可以比較一下前後概念的聯絡與區別

。

因為在數學的每一章中有不少知識是互相平行但又有聯絡的。

比如說函式中的單調性，奇偶性、週期性；指數函式、對數函式，都是這麼一種關係。

再比如說像在立體幾何中平行和垂直關係，線面平行與線面垂直，我們可以來進行聯絡比較，線面平行和麵面平行，我們也可以來進行聯絡、比較。

這樣的話對於概念的認識就更加深刻。

在研究概念的時候，我們也可以去仔細琢磨。

比如說立體幾何中，線面垂直的定義是：

如果一條直線垂直於任意一條直線，那麼這條直線就和平面是垂直的。

這個定義就是一個典型的把三維問題轉化成二維問題，進而簡化難度的一個思路，也是立體幾何中非常常用的一種思路。

很多立體幾何中的問題，我們都是把它從一個空間問題轉化成平面問題。

比如空間角我們都是轉化為平面角來解決。

這種降維的思想不僅僅是在幾何中會涉及到，在其他知識上也有所體現。

比如說我們所有的解方程、解不等式的問題，不管這個方程和不等式是什麼形式，最終我們都會轉化為解一元一次方程和一元一次不等式。

我們還可以透過變動概念中的條件來理解概念。

比如把線面垂直定義中的任意改成無數行不行？

或者說不要任意這兩個字，可不可以？

同時這個定義，我們把條件和結論調換一下，是否也是成立的？

如果一條直線垂直於一個平面，這條直線就垂直於平面內的任意一條直線。

這樣一個結論是否正確？

這是定義，但是線面垂直的判定定理是這樣表述的：

如果一條直線垂直於平面內的兩條相交直線，那麼直線和平面就是垂直的。

判定定理裡為什麼不再強調任意一條直線，而是兩條相交直線就可以？

其次當然是要做題。

因為我們學習概念知識，主要目的就是為了去應用，這時需要解題；

同時為了考驗我們對於知識的掌握程度，也是要去做題。

如果是

預習數學，不去做題就沒法發現自己在預習中存在的問題

。

尤其是有一些同學的能力不夠，可能做不到像我前面所說的那樣去透過琢磨概念發現問題，那麼就需要透過做題來達到這樣一個目的。

做題的時候什麼樣的難度是合適的？

一方面要看課本上的問題，除了課本上的問題之外，還需要去看相應的教輔中的問題。

但是高中生時間又不夠，不可能完全的去把教輔中的內容都給解決掉，那麼這個時候又怎麼辦？

我們可以去降低要求，

一方面可以只做教輔中第一部分預習環節的題目

（很多教輔都是有一些配套的預習用題目，難度很低，只要是考察對概念的初步認識，不考技巧），

另一方面對於後面的題目，不要求都付諸於筆端，可以去題目給大致瀏覽一遍，找一找思路

。

判斷出來沒有辦法解決的問題，把它給標記下來，然後帶著問題去聽課。

當然我們也可以去結合現在的一些教學資源，的確現在網路上有很多的錄播課程可以讓孩子們去學習。

但錄播課程的學習需要花費大量時間，這就要看大家如何去處理和權衡。

在預習階段可以著重看一看課程中關於概念的講解。

這可以解決一個什麼問題呢？

有一些高中老師對於概念是不怎麼講的，透過提前看看可以解決這個問題。

預習不可能做到面面俱到，如果可以，那要老師幹什麼？

一定要去兼顧效率，甚至可以說在預習階段，效率是第一位的。

其次是聽好課。

聽好課的話，其實就是我們常規所說的

五到

——

眼到、耳到、口到、手到、心到

。

這

五到

首先是

一個多維的學習過程

。

因為要想提高聽課效率，最好是要整個感官參與，手、眼、耳、心、口，綜合的參與，綜合的呼叫，能夠讓你在全方位的去感觸、理解這個內容。

我們應該有體會，如果讓你去簡單的去聽一個東西，可能你聽一小段，還能記住，但是如果這一段內容時間長久，你可能一會兒就把前面內容忘記了。

但是如果有眼睛看、有耳朵聽、有手記，協調配合起來，相對就會好的多。

具體到每一項，也是可以來深入的去打磨一下的。

眼到

在上課時，學生的眼睛是非常重要的，一定要盯著老師、盯著黑板。

盯著老師是什麼意思？

因為

課堂是一個互動的過程

，所謂老師教、學生聽，老師在講課的過程中也在不斷觀察學生聽課時候的反應，這就是一個互動的過程。

如果你是在認真的聽課，那麼當你遇到疑難問題的時候，老師就能夠觀察出來。

這個時候，老師就會有意識地加強這方面的教學。

眼到還指你一定要跟著老師的節奏去走

。

比如老師在解題的過程中，你就不要去自己再去看課本，或者幹別的，一定要跟著老師的思路。

學生的水平是有層次之分的，老師在講課過程中你一定是會遇到問題的。

這個時候能很快琢磨明白的就直接琢磨明白，如果要花一定時間，就把它標記出來課下去問同學或者老師，而不要一味的糾纏。

否則就容易拾了芝麻，丟了西瓜，甚至芝麻、西瓜都沒了。

有問題是很正常的事情，不丟人、不可怕，下來只要解決了就可以了。

耳到

指的是要學會聽課。

什麼叫學會聽課呢？

一節課會包含很多知識點，不能說每一個點都很重要，但一定會有若干個比較重要的點。

在這些點上，老師是會反覆強調，不由自主的放慢節奏，加強重音，甚至會直接點出來這個知識點的重要性。

一定要能夠發現這些重難點知識，重點題型，投注百分之百的注意力。

口到

指的是在課堂上要能夠主動的去反饋、去參與。

當老師在提問的時候，一定要回答，老師在解題過程中，能跟著說的一定要說。

反饋非常重要，沒有反饋就沒有一個有效的課堂，你的回答，也許是對的，也許是錯的，都能夠讓老師瞭解實際情況，及時調整。、

另外，當你在跟著老師說時，就不太好去分散注意力，相對來說更能集中注意力，聽課效率自然會高一些。

手到是一個比較麻煩的話題。

一般來說我們在課堂上的手到，指的就是記筆記。

我的建議是：

聽概念的時候專注於聽，筆記只是記些老師講解概念過程中的一些要點以及一些自己的疑問。

如果老師在講解習題，那就要聽記結合，因為你課下很難有時間去完全補充。

如果老師用的是傳統的板書，你跟上記錄過程基本沒有什麼壓力；

如果老師用的是PPT，就未必會給你留出足夠的記筆記的時間，可以去掉那些無關緊要的你會的步驟，主要記核心的位置，把核心步驟給記下來，把疑問之處、難點給記下來，把思路記下來，其他的去下面再補充。

不管怎麼樣，我們上課的核心在於聽講，筆記只是這個聽講過程的一個環節，是為聽課效果服務的。

心到指的是你在聽課的過程中一定要有主動性。

要把預習中發現的問題、存在的疑問拿出來，帶著這些問題和疑問去聽講。

要能夠主動的去跟著老師的思路去走，而且要不斷的在老師的講課過程中繼續發現問題，去深入的進行思考。

要想提高學習效率，你的聽課過程就不能是一個簡單的接收過程，

它應該是一個有大腦主要參與的、完整的、包含有反饋、包含有思考、包含有練習的過程

。

只有我們在聽課時能夠主動思考，對資訊進行加工，才能夠更有效的提升我們的聽課效率，才能夠更好的把知識融匯入我們的既有的知識體系中去。

絕對不能只是被動的接收，切記切記。

做好作業是學好數學的必要步驟

誰不會寫作業？

但你寫作業的質量、效果到底如何？你又是否會主動的寫作業？

作業的作用是什麼？——鞏固知識、提高能力、發現問題。

所以作業必須保證能夠獨立的完成，這是最最基本的要求。

之所以強調這個，是因為很多高中孩子很難做到獨立完成，當然我們並沒有道德潔癖，哪怕是對你很難解決的問題也必須要求一個人自己去琢磨出來。

如果能夠做到這樣，當然很好。

如果不行，可以去請教別人、可以去看答案、可以用掃題軟體，但請保證你透過以上途徑之後，可以自己獨立的搞定這些題目。

怎麼判斷？

給別人講講就好。

學校作業和自購教輔的關係。

這是一個讓孩子與家長都很矛盾的問題，我也沒有一個萬全之策，只能給幾條原則：

學有餘力的，可以主動調整

我群裡就有一個孩子今年高考考上某著名醫學院八年制口腔的家長，他家孩子就是自己買教輔做，因為覺得學校教輔不好，問題是人家孩子能考到全省前幾百，自然有這個能力、眼光和底氣。

學校作業都搞不定的，不要碰

不是說學校作業就一定好，而是說你連學校作業都搞不定，那麼說明你肯定是有欠缺的，家長也大機率不具備挑選合適教輔的能力，盲目的去挑選教輔反而得不償失。

眾鳥在林不如一鳥在手，老老實實按部就班吧。

聽取專業人士的意見。

高中教輔種類很多，高中時間很緊張，高中沒有辦法試錯，在選擇校外教輔的時候，最好是聽一下專業人士的意見，結合下自身的情況與目標。

比如一些特殊情況——有的娃極度偏科，進了好學校或者好班型，但是數學極度薄弱，學校的教輔都用不了，這時候可以找專業人士推薦一本降級教輔。

自購教輔的選擇與使用。

在高中階段，專題教輔>同步教輔，難度優先，高一層級，解析詳盡。

這樣的建議顯然是有實際背景——學校正規、老師負責。

這種情況下，學生的練習量是絕對夠的，不用考慮刷題的問題，同步教輔學校配的質量也不會太差，學生面臨的問題往往是基礎題目會，上一點難度的時候思路不暢，難題束手無策。

這時候學生急需的是透過專題教輔打通整個體系，融會貫通，系統的解決問題。

選擇教輔的時候不能和校內同級，那就沒有什麼意義了，最好是比校內的高一級能夠拔高一些，同時解析過程詳盡，便於自己學習、分析。

學會考試是數學學習能力的體現

首先是面對考試的心態問題

——到高考之前的所有考試，都只是為了查漏補缺，所以放鬆心態，盡力考就好，然後就是考後的整理分析；高考是你高中三年乃至整個學習生涯的體現，早就註定，你只是在上臺領獎而已。

具體到數學考試，首先要保證格式，主要是解答題的格式。

從高一開始就要規範使用解題格式，該符號語言絕不用文字說明，該有的步驟一定不要跳！

其次是做好草稿管理。

選擇填空題除非是特別難得題目，可以在一卷上寫，既能給解答題解決留出空間，也可以在檢查的時候及時對照題目，提高效率。

解答題草稿一定不要著急，要適當注意格式、準確度，尤其是比較複雜的計算過程最好是醒目、清晰。

再次是善於運營各種解題技巧，做到有效答題。

然後是做好時間管理

，不斷精益求精，要把客觀題答題時間壓縮在40分鐘—50分鐘左右。

最後是做好權衡

，高中數學試卷中一定會遇到不會做的題目，而且位置還有可能很靠前，比如在選擇題7、8、11、12，填空題16，解答題20、21、22中都可能遇到，很正常，是跳過去還是留下來攻堅，要權衡好時間。

我的建議是在這幾個位置遇到難題，就先看看，簡單思考一下之後，如果一時間思路比較渺茫，那就跳！解決的時候先解答後不定向選擇、再單選、填空。

這樣的話，一方面節約了時間，另一方面你把會做的題目做完後，對於這些跳過題目的難度也有了個認識，可以直接解決那些有希望解決的。

其中解答題因為有過程分，相對得分機率比較大，不定項選擇題也是如此。

考試中一定有不會的問題，有錯誤的題目，這些問題才是有價值的問題。

不能單純的滿足於步驟的重複，而是要深入分析錯因，找到問題解決的本質思路方法，最好是加上同類型題目練習。

對問題的分析的重要性要高於反覆的練習。

最後送大家一張圖。

這張圖的出處頗有可議之處，但大致內容還是不錯的，也是費曼學習法的一個例項。

我們會看到主動學習中效率最高的一條是——教給他人。

我們有些同學會覺得教會徒弟、餓死師傅，不太樂意和同學們討論問題、分享思路和經驗。

中國足夠大，容得下很多志願和選擇。

相較於你在全省所面對的競爭，你在班裡那些競爭不值一提

，但是你不可能獲得全省那些競爭者的幫助，卻能夠獲得班裡同學的幫助。

所以丟下那些敝帚自珍的小心思，大膽和同學們之間彼此交流、砥礪，

共同進步才是高中數學學習正確的開啟方法

，

也許你還會收穫不少真摯的友誼，這樣你的高中生涯才不算虛度。

祝同學們學習進步！

三年後金榜題名！