每個人都是獨一無二的，最大的不幸，就是無法認清自己

富蘭克林說過一句話：“一個人失敗的最大原因，是對自己的能力缺乏充分的信心，甚至以為自己必將失敗無疑。”

唯一的辦法，就是努力擺脫自卑的情緒，認清自己，相信自己。

有一個生長在孤兒院中的孩子，常常沮喪地問院長：“像我這樣沒有人要的孩子，活著有什麼意思呢？”

院長總是笑而不答。

有一天，院長交給男孩一塊石頭，說：“明天早上，你拿這塊石頭到市場去賣，但不是‘真賣’。記住，不論別人出多少錢，絕對不能賣！”

第二天，男孩蹲在市場的角落裡，意外地有好多人要向他買那塊石頭，而且價錢越出越高。回到孤兒院，男孩興奮地向院長報告，院長笑了笑，要他明天拿到黃金市場去叫賣。沒想到，在黃金市場，竟有人出比昨天高十倍的價錢要買那塊石頭。

最後，院長叫男孩把石頭拿到寶石集市上去展示。結果，石頭的身價又漲了十倍，而且因為男孩怎麼都不肯賣，這塊普通的石頭竟被傳成“稀世珍寶”。

男孩興沖沖地捧著石頭回到孤兒院，將這一切向院長彙報。院長望著男孩，緩緩地說：“一塊不起眼的石頭，由於你的珍惜而提升了它的價值，被說成稀世珍寶。你不就像這石頭一樣嗎？只要自己看重自己，自己珍惜自己，你就有意義，有價值。”

每個人都是一塊無價的“石頭”，只要認清自我的價值，相信自己，不斷進步，就可以實現人生理想。

人生在世，每個人都是獨一無二的，只有自己看得起自己，才能在人生的舞臺上獲得他人的掌聲。否則連登臺都不敢，何談盛裝表演。

數學文化是人類文化的重要組成部分，是人類社會發展的產物，也是人類社會進步的推動力。認識到數學的科學價值、應用價值、人文價值、美學價值，並在數學文化的教育活動中不斷接受數學文化的薰陶，提高自身的數學文化修養，養成用數學的思維和眼光思考問題，看待世界。

知識要點

數學文化特徵是數學文化的最小限度的有意義的單位．這樣的單位在時間和空間中可以當作一個單位來進行觀察．一個數學符號、一個幾何圖形或圖案、一個數學表示式、一個數學問題的解決方法等都是數學文化的特徵．

數學文化之所以被隱喻為“長河”，就是因為其連續性地存在而非零散地飄浮於人類生存時空，數學家們漫漫的探索之路，既有平緩的過渡也有湍急的險灘，險灘尤其成為璀璨文化不可或缺的組成部分，在這裡傳承更多的是創新與創造。

中國古代數學著作

《張丘建算經》：包括最小公倍數的應用、等差數列各元素互求以及“百雞術”等主要成就。“百雞術”是世界著名的不定方程問題。

《四元玉鑑》：中國宋元數學高峰的又一個標誌，其中最傑出的數學創作有“四元術”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積法”（高階等差數列求和）與“招差術”（高次內插法）。

楊輝《詳解九章演算法》：載有“開方作法本源”圖，註明“賈憲用此術”，這就是著名的“賈憲三角”，或稱“楊輝三角”。《詳解九章演算法》同時還錄有賈憲進行高次冪開方的“增乘開方法”。

《數書九章》：全書共18卷，81題，分九大類（大衍、天時、田域、測望、賦役、錢穀、營建、軍旅、市易）。其最重要的數學成就——“大衍總數術”（一次同餘組解法）與“正負開方術”（高次方程數值解法），使這部宋代算經在中世紀世界數學史上佔有突出的地位。

《重差》：原為《九章算術注》的第十卷，即後來的《海島算經》，內容是測量目標物的高和遠的計算方法。重差法是測量數學中的重要方法。

數學文化在課堂上，能夠喚醒學生內心對數學的渴望與欣賞，充分感受數學知識產生髮展的過程，享受數學學習的過程，實現數學教學的素質教育。

典型問題

考向一傳說故事

例1．早在古羅馬時代，傳說亞歷山大城有一位精通數學和物理的學者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題．

將軍每天從軍營

A

出發，先到河邊飲馬，然後再去河岸同側的軍營

B

開會，應該怎樣走才能使路程最短？這個問題的答案並不難，據說海倫略加思索就解決了它．從此以後，這個被稱為“將軍飲馬”的問題便流傳至今．

大數學家海倫曾用軸對稱的方法巧妙地解決了這個問題．

如圖2，作

B

關於直線

l

的對稱點

B

′，連線

AB

′與直線

l

交於點

C

，點

C

就是所求的位置．

證明：如圖3，在直線

l

上另取任一點

C

′，連線

AC

′，

BC

′，

B

′

C

′，

∵直線

l

是點

B

，

B

′的對稱軸，點

C

，

C

′在

l

上，

∴

CB

＝

CB

′，

C

′

B

＝

C

′

B

′，

∴

AC

+

CB

＝

AC

+

＝

．

在△

AC

′

B

′中，

∵

AB

′＜

AC

′+

C

′

B

′

∴

AC

+

CB

＜

AC

′+

C

′

B

′即

AC

+

CB

最小．

本問題實際上是利用軸對稱變換的思想，把

A

，

B

在直線同側的問題轉化為在直線的兩側，從而可利用“兩點之間線段最短”，即“三角形兩邊之和大於第三邊”的問題加以解決（其中

C

在

AB

′與

l

的交點上，即

A

、

C

、

B

′三點共線）．本問題可歸納為“求定直線上一動點與直線外兩定點的距離和的最小值”的問題的數學模型．

【簡單應用】

（1）如圖4，在等邊△

ABC

中，

AB

＝6，

AD

⊥

BC

，

E

是

AC

的中點，

M

是

AD

上的一點，求

EM

+

MC

的最小值。

藉助上面的模型，由等邊三角形的軸對稱性可知，

B

與

C

關於直線

AD

對稱，連線

BM

，

EM

+

MC

的最小值就是線段

的長度，則

EM

+

MC

的最小值是

；

（2）如圖5，在四邊形

ABCD

中，∠

BAD

＝130°，∠

B

＝∠

D

＝90°，在

BC

，

CD

上分別找一點

M

、

N

當△

AMN

周長最小時，∠

AMN

+∠

ANM

＝

°．

【拓展應用】

如圖6，是一個港灣，港灣兩岸有

A

、

B

兩個碼頭，∠

AOB

＝30°，

OA

＝1千米，

OB

＝2千米，現有一艘貨船從碼頭

A

出發，根據計劃，貨船應先停靠

OB

岸

C

處裝貨，再停靠

OA

岸

D

處裝貨，最後到達碼頭

B

．怎樣安排兩岸的裝貨地點，使貨船行駛的水路最短？請畫出最短路線並求出最短路程．

【解析】

AC

+

CB

＝

AC

+

CB

′＝

AB

′，

故答案為：

CB

′；

AB

′；

【簡單應用】（1）由等邊三角形的軸對稱性可知，

B

與

C

關於直線

AD

對稱，連線

BM

，

EM

+

MC

的最小值就是線段

BE

的長度，

（2）如圖5，作

A

關於

BC

和

CD

的對稱點

A

′，

A

″，連線

A

′

A

″，交

BC

於

M

，交

CD

於

N

，

則

A

′

A

″即為△

AMN

的周長最小值，

∵∠

DAB

＝130°，∴∠

AA

′

M

+∠

A

″＝50°，

∵∠

MA

′

A

＝∠

MAA

′，∠

NAD

＝∠

A

″，

且∠

MA

′

A

+∠

MAA

′＝∠

AMN

，∠

NAD

+∠

A

″＝∠

ANM

，

∴∠

AMN

+∠

ANM

＝∠

MA

′

A

+∠

MAA

′+∠

NAD

+∠

A

″＝2（∠

AA

′

M

+∠

A

″）＝2×50°＝100°，故答案為：100；

【拓展應用】如圖6，分別作點

A

關於

OB

的對稱點

A

′，點

B

關於

OA

的對稱點

B

′，連線

A

′

B

′，交

OB

於

C

，交

OA

於

D

，

則

C

、

D

為兩岸的裝貨地點，

A

′

B

′是貨船行駛的水路最短路程，

由軸對稱的性質可知，

OA

′＝

OA

＝1，

OB

′＝

OB

＝2，∠

BOA

′＝∠

AOB

＝30°，∠

AOB

′＝∠

AOB

＝30°，∴∠

A

′

OB

′＝90°，

考向二名人公式

例2．傳說古代敘拉古國王海倫（

Heron

）二世發現利用三角形的三邊長可以直接求三角形面積的公式，也有人稱這個公式最早是古希臘數學家阿基米德（

Archimedes

）得出的，只是因為這個公式最早出現在海倫的著作《測地術》中，所以被稱為海倫公式，海倫公式的具體形式為：

在海倫的著作中，他還研究了三角形的周長和麵積均為自然數的三角形，後世稱這種三角形為海倫三角形．請根據以上史實，求解下列問題：

（1）若△

ABC

為海倫三角形，且

a

＝6，

b

＝25，求邊長

c

；

（2）試探究面積與周長數值相等，既為海倫三角形，又為直角三角形的三角形有多少個？若存在，指出其三邊長；若不存在，說明理由．

綜上所述，符合條件的直角三角形存在，其邊長分別是5、12、13；6、8、10；共有2個這樣的直角三角形．

考向三數學典籍

例3．（2022內江中考題）勾股定理被記載於我國古代的數學著作《周髀算經》中，漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅如圖①所示的“弦圖”，後人稱之為“趙爽弦圖”．圖②由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S

1

、S

2

、S

3

．若正方形EFGH的邊長為4，則S

1

+S

2

+S

3

＝

．

【分析】

由勾股定理和乘法公式完成計算即可．

【解答】

：設八個全等的直角三角形的長直角邊為a，短直角邊是b，則：

S

1

＝（a+b）

2

，S

2

＝4

2

＝16，S

3

＝（a﹣b）

2

，

且：a

2

+b

2

＝EF

2

＝16，

∴S

1

+S

2

+S

3

＝（a+b）

2

+16+（a﹣b）

2

＝2（a

2

+b

2

）+16

＝2×16+16＝48．

故答案為：48．

變式1．（2022湖北中考題）勾股定理最早出現在商高的《周髀算經》：“勾廣三，股修四，經隅五”．觀察下列勾股數：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，這類勾股數的特點是：勾為奇數，弦與股相差為1．柏拉圖研究了勾為偶數，弦與股相差為2的一類勾股數，如：6，8，10；8，15，17；…，若此類勾股數的勾為2m（m≥3，m為正整數），則其弦是

（結果用含m的式子表示）．

【分析】

∵m為正整數，∴2m為偶數，設其股是a，則弦為a+2，

根據勾股定理得，（2m）

2

+a

2

＝（a+2）

2

，

解得a＝m

2

﹣1，∴弦是a+2＝m

2

﹣1+2＝m

2

+1，

故答案為：m

2

+1．

變式2．（2022株洲中考題）中國元代數學家朱世傑所著《四元玉鑑》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結角池圖”．“方田一段，一角圓池佔之．”意思是說：“一塊正方形田地，在其一角有一個圓形的水池（其中圓與正方形一角的兩邊均相切）”，如圖所示．

問題：此圖中，正方形一條對角線AB與⊙O相交於點M、N（點N在點M的右上方），若AB的長度為10丈，⊙O的半徑為2丈，則BN的長度為____

丈．

考向四國學經典

考向五文物古蹟

例5．（2022蘭州中考題）綜合與實踐

問題情境：我國東周到漢代一些出土實物上反映出一此幾何作圖方法，如侯馬鑄銅遺址出土車軎（wèi）範、芯組成的鑄型（如圖1），它的端面是圓形．如圖2是用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法：將“矩”的直角尖端A沿圓周移動，直到AB＝AC，在圓上標記A，B，C三點；將“矩”向右旋轉，使它左側邊落在A，B點上，“矩”的另一條邊與的交點標記為D點，這樣就用“矩”確定了圓上等距離的A，B，C，D四點，連線AD，BC相交於點O，即O為圓心．

問題解決：（1）請你根據“問題情境”中提供的方法，用三角板還原我國古代幾何作圖確定圓心O．如圖3，點A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，且AB＝AC，請作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）

類比遷移：（2）小梅受此問題的啟發，在研究了用“矩”（帶直角的角尺）確定端面圓心的方法後發現，如果AB和AC不相等，用三角板也可以確定圓心O．如圖4，點A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，請作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）

拓展探究：（3）小梅進一步研究，發現古代由“矩”度量確定圓上等距離點時存在誤差，用平時學的尺規作圖的方法確定圓心可以減少誤差．如圖5，點A，B，C是⊙O上任意三點，請用不帶刻度的直尺和圓規作出圓心O．（保留作圖痕跡，不寫作法）請寫出你確定圓心的理由：

．

【分析】

問題解決：（1）以B為頂點，以AB為一邊，用三角板作∠ABD是直角，∠ABD的另一邊與圓交於D，連線AD，BC，AD，BC的交點即是圓心O；

類比遷移：（2）方法同（1）；

拓展探究：（3）連線AC，AB，作AC，AB的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點即為圓心，根據是垂直平分弦的直線經過圓心．

【解答】

：問題解決：

（1）如圖：

考向六民俗文化

例6．（2022長沙中考題）電影《劉三姐》中，有這樣一個場景，羅秀才搖頭晃腦地吟唱道：“三百條狗交給你，一少三多四下分，不要雙數要單數，看你怎樣分得勻？”該歌詞表達的是一道數學題．其大意是：把300條狗分成4群，每個群裡，狗的數量都是奇數，其中一個群，狗的數量少：另外三個群，狗的數量多且數量相同．問：應該如何分？請你根據題意解答下列問題：

（1）劉三姐的姐妹們以對歌的形式給出答案：“九十九條打獵去，九十九條看羊來，九十九條守門口，剩下三條給財主．”請你根據以上資訊，判斷以下三種說法是否正確，在題後相應的括號內，正確的打“√”，錯誤的打“×”．

①劉三姐的姐妹們給出的答案是正確的，但不是唯一正確的答案．

②劉三姐的姐妹們給出的答案是唯一正確的答案．

③該歌詞表達的數學題的正確答案有無數多種．

（2）若羅秀才再增加一個條件：“數量多且數量相同的三個群裡，每個群裡狗的數量比數量較少的那個群裡狗的數量多40條”，求每個群裡狗的數量．