三角形兩條高的夾角怎麼算？有幾種情況？有固定結論嗎？

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例題

1、在△ABC中，∠A=50°，高BE、CF所在直線相交於點O，則∠BOC的度數為_______。

2、已知BD、CE是△ABC的高，直線BD、CE相交所成的角中有一個角為50°，則∠BAC=______。

分析：這兩道題都與三角形兩條高的夾角有關，都沒有圖，不同點是1題是已知另一個角度數求夾角，2題是已知夾角度數求另一個角。

對於沒有圖的幾何題，首先要把圖畫出來，而且對於這類題往往不止一種情況，需要分類討論。

先來看1題

這種是很容易想到的，由四邊形內角和是360°易知∠EOF與∠A互補，∠BOC與∠EOF是對頂角，所以∠BOC=130°。

三角形的高除了可以在三角形內外，還可能在三角形外。由圖易知，∠BOC與∠A都是∠AOB的餘角，所以∠BOC=∠A=50°。

再來看2題

如圖，同樣分兩種情況，而且每種情況都有兩個結果，因為題目中只是說相交所成的角中有一個角為50°，並沒有特別指明是哪一個。由圖易知，圖一、圖二均有50°、130°兩種結果。

結論

透過觀察可以發現，兩道題目的答案是一樣的！這其實並不是巧合，而是一個普遍的結論。

三角形兩條高（或高的延長線）的夾角與另一個角相等或互補。

該結論透過畫圖就可以清楚地看出，以下分別為銳角三角線、直角三角形、鈍角三角線中兩條高（或高的延長線）相交的所有情況。

根據圖形透過簡單的推導就可以得出上面的結論。