楊輝三角形的數型與二項式展開

楊輝三角形

是一種數型，也叫帕斯卡三角形。

楊輝三角

是數字的三角形排列，它給出了任何二項式表示式展開時的係數。這些數字排列得像個三角形。首先，1放在頂部，然後我們開始把數字放在一個三角形的模式。我們每一步得到的數字是上述兩個數字的加法。

楊輝三角形

大多數人是透過一套看似隨意的規則認識楊輝三角形的。從上面的1開始，在三角形的兩邊都是1。每一個新數都位於兩個數及其以下，它的值是上面兩個數的和。理論上的三角形是無限的，並永遠向下延伸，但只有前6條線出現在下圖1。

楊輝三角形的構建

構造三角形最簡單的方法是從第0行開始，只寫數字1。從這裡開始，要得到下面幾行數字，將數字的正上方和正右側的數字相加。如果左邊或右邊沒有數字，則為缺少的數字替換一個零，然後繼續進行加法。這是第0行到第5行的圖解。

從上圖中，如果我們對角線看，第一條對角線是1的列表，第二條對角線是計數數列表，第三條對角線是三角形數字列表，以此類推。

怎樣利用

楊輝三角形

？

楊輝

三角形可用於各種機率條件。假設我們拋硬幣一次，那麼只有兩種可能的結果，正面（H）或反面（T）。

如果拋兩次，有一種可能是兩面都是正面HH，兩面都是反面TT，但至少是正面或反面有兩種可能，也就是HT或TH。

現在你可以考慮楊輝三角形是如何幫助你的。

讓我們看看這裡給出的基於投擲次數和結果的表格。

投擲次數

結果數

楊輝三角

1

H

T

1，1

2

HH

HT TH

TT

1， 2， 1

3

HHH

HHT， HTH， THH

HTT， THT， TTH

TTT

1，3，3，1

我們也可以透過增加投擲次數擴充套件。

楊輝三角形的形態

1)

行相加：這個三角形的一個有趣的性質是，一行數字的和等於

其中n為行號：

1 = 1 =

1 + 1 = 2 =

1 + 2 + 1 = 4 =

1 + 3 + 3 + 1 = 8 =

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 =

2)

三角形中的質數：三角形中另一個可見的模式處理質數。如果一行是素數行，那一行中的所有數字（不包括1）都能被這個素數整除。例如我們看第5行（1 5 10 10 5 1），我們可以看到5和10能被5整除。

3)

三角中的斐波那契數列：將帕斯卡三角形對角線上的數相加，得到的斐波那契數列如下圖所示。

楊輝三角的特性

每個數字是上面兩個數字的和。

外部數字均為1。

三角形是對稱的。

第一個對角線表示正在計數的數字。

行的和是2的冪。

每行都是11的乘方數，比如第五行為

=14641。

每個數字都是“二項式係數”。

斐波那契數列在對角線上。

這是一個18行的楊輝三角形；

公式

求楊輝三角形第n行第k列元素項的公式為：

楊輝三角形的二項式擴充套件應用

楊輝三角形定義了出現在二項展開式中的係數。這意味著楊輝三角形的第n行包含多項式

展開表示式的係數， 它的展開式為：

上面展開式的係數Cn（r）恰好是楊輝三角形第n行中的數字。即：

令a=b=1， 那麼：

二項式的第r+1項的求法按公式：

二項式的係數有很多性質，如：