哥德巴赫猜想的姐妹問題，神秘的孿生素數猜想

遠在中古時代，人類社會就產生了自然數的概念，人們也因此創立了一個古老而漂亮的數學分支：數論。數論裡面一個重要的概念就是素數，指的是那些只能被1和其自身整除的數，比如5、7、11、19等。

在數學的發展史上，素數佔據著重要的位置，有很多關於素數的猜想，如哥德巴赫猜想，黎曼猜想等等。有一些猜想是比較容易解決的，如素數的個數是無窮的（證明方法見下一段），但是也有一些猜想直到今天還沒有得到完美解決，下文將介紹一下孿生素數猜想猜想。

孿生素數的問題已經有約200年的歷史。在1900年的國際數學家大會上，希爾伯特將孿生素數猜想列入了他那著名的23個數學問題。想了解這個問題的奇妙之處，需要大概瞭解素數的分佈規律。

2000多年前，古希臘數學家歐幾里德最先證明了素數在自然數中有無窮多個。這個證明是數學愛好者都很熟悉的，英國數學家哈代在他的《一個數學家的

辯白

》中也對這個證明津津樂道。

01

孿生素數有一個十分精確的普遍公式：若自然數Q與Q+2都不能被不大於根號（Q+2）的任何素數整除，則Q與Q+2是一對素數，稱為相差2的攣生素數。1849年，波林那克提出孿生素數猜想，即猜測存在無窮多對孿生素數。

1849年，波林那克提出孿生素數猜想，即猜測存在無窮多對孿生素數。孿生素數是指一對素數，它們之間相差2。例如3和5，5和7，11和13，10016957和10016959等等都是孿生素數。孿生素數猜想，即是否存在無窮多對孿生素數，是數論中未解決的一個重要問題。哈代一李特爾伍德猜想是孿生素數猜想的一個增強形式，猜測孿生素數的分佈與素數定理中描述的素數分佈規律相類似。

孿生素數是有限個還是有無窮多個？這是一個至今都未解決的數學難題，一直吸引著眾多的數學家孜孜以求地鑽研。

例如，人們發現素數的倒數和為無窮，這就意味著素數的分佈比完全平方數要稠密。在法國數學家勒讓德和德國數學家高斯的推動下，人們開始猜測素數的分佈律接近x/ln（x），即前x個整數中大約有x/ln（x）個素數。這一結果於1896年被兩位數學家各自證明，此時距離勒讓德的猜想提出已經有98年。

早在20世紀初，德國數學家蘭道就推測孿生素數有無窮多個，許多跡象也越來越支援這個猜想，最先想到的方法是使用尤拉在證明素數有無窮多個時所採取的方法，設所有的素數的倒數和為：

S=1/2+1/3+1/5+1/7+1/11+…

如果素數是有限個，那麼這個倒數和自然是有限數。但是尤拉證明了這個和是發散的，即是無窮大，由此說明素數有無窮多個。1919年，挪威數學家布隆仿照尤拉的方法，求所有孿生素數的倒數和：

B=（1/3+1/5）+（1/5+1/7）+（1/11+1/13）+…

如果也能證明這個和比任何數都大，就證明了孿生素數有無窮多個了。這個想法很好，可是事實卻違背了布隆的意願。他證明了這個倒數和是一個有限數，現在這個常數就被稱為布隆常數：B=1。90216054…布隆還發現，對於任何一個給定的整數m，都可以找到m個相鄰素數，其中沒有一個孿生素數。

李生素數有一個十分精確的普遍公式，是根據一個定理：“若自然數Q與Q+2都不能被不大於根號（Q+2）的任何素數整除，則Q與Q+2是一對素數，稱為相差2的孿生素數。這一句話可以用公式表達：

Q=plm1+b1=p2m2+b2…=pkmk+bk（1）

其中pl，p2，…，pk表示順序素數2，3，5，…。b0，bpi-2。（即最小剩餘不能是0和pi-2。不能是2m，3m，5m，…，pkm形，不能是3m+1，5m+

3，7m+5，…，pkm-2形）。若Q

例如，29，29和29+2不能被不大於根號（29+2）的任何素數2，3，5整除，29=2m+1=3m+2=5m+4，29<49-2（即7的平方減2）所以29與29+2是一對孿生素數。

上式可以用同餘式組表示：

Q=b1（modp1），Q=b2（modp2），…，Q=bk（modpk）（2）

由於（2）式的模pl，p2，…，pk兩兩互素，根據孫子（中國剩餘）定理，對於給定的b值，（2）式在plp2…pk範圍內有唯一的解。例如29，29=1

（mod2），29=2（mod3），29=4（mod5）。29小於7的平方減2，即49-2。所以29是一個素數。29在2×3×5=30範圍內有唯一解。

例如，k=1時，Q=2m+1，解得Q=3和5，5<3的平方減2，得知3與3+2，5與5+2是兩對孿生素數。從而得到了3至3的平方區間的全部孿生素數。

k=2時，Q=2m+1=3m+2。解得Q=5，11，17。17<5的平方減2，得知11與11+

2，17與17+2是孿生素數對，從而得到5至5的平方區間的全部孿生素數。

k=3時，

∣-5m+1-∣-5m+2-∣-5m+4-∣

Q=2m+1=3m+2

=∣-11-，-41-；∣-17-1-29-∣

。。。。

從而求得了7至7的平方區間的全部孿生素數對。

k=4時，解得：

∣-7m+1-∣-7m+2-1-7m+3-∣-7m+4-∣-7m+6-∣

Q=2m+1=3m+2=5m+1=∣——71——∣——191——∣——101——∣——11——∣——41——∣

Q=2m+1=3m+2=5m+2=∣——197——∣——107——∣——17——∣——137——∣——167——∣

Q=2m+1=3m+2=5m+4=∣——29——∣——149——∣——59——∣——179——∣——209——∣

。。。。

求得了11至11平方區間的全部解。

仿此下去，可以求得任意給定的數以內的全部孿生素數，並且一個不漏地得到。注意，在k≥4時，利用表格，我們不需要透過計算，或者埃拉託塞尼篩法求得解，而是隻要填寫即可。表格的數字十分有規律。人類已經不依賴埃氏篩。可以透過組裝或者克隆素數。這對大數密碼是一個強烈的衝擊。

由於b0，（1）、（2）式的本質就是從plp2p3…pk中篩去plm，p2m，…，pkm形的數k次；由於bpi-2，（1）、（2）式是從plp2p3…pk中篩去plm-2，p2m-2，p3m-2…，pkm-2形的數k次，共篩2k次。

孿生素數猜想就是要證明（1）式或者（2）式在k值任意大時都有小於p

（k+1）平方減2的解。利用（1）（2）式證明孿生素數猜想變得十分容易，希爾伯特等數學家都是這樣認為的。

根據孫子定理得知，（1）、（2）式在plp2p3…pk範圍內有：（2-1）x（3-2）×（5-2）x…×（pk-2）。（3）個解。

孿生素數的篩法就是在埃拉託塞尼的篩後再篩去pm-2型的數。

02

1966年，中國數學家陳景潤在這方面得到最好的結果：存在無窮多個素數p，使p+2是不超過兩個素數之積。

若用p（x）表示小於x的孿生素數對的個數，下表是1011以下的孿生素數分佈情況：

p（x）與x之間的關係是什麼樣的呢？1922年，英國數學家哈代和李特伍德提出一個數分佈的猜想：

p（x）=2cx/（1nx）2其中，常數c=（1-1/22）（1-1/42）（1-1/62）（1-1/102）…

即，對於每一個素數p，計算（1-1/（p-1）2），再相乘。經過計算得知c=

0。66016稱為孿生素數常數，這個猜想如上所述有可能是正確的，但是至今也未獲證明。

證明孿生素數猜想的另一類結果是估算性的，這類結果估算的是相鄰素數之間的最小間隔，更確切地說是：

這個表示式定義的是兩個相鄰素數之間的間隔與其中較小的那個素數的對數值之比在整個素數集合中所取的最小值。很顯然孿生素數猜想如果成立，那麼A必須等於0，因為孿生素數猜想表明pn+1-pn=2對無窮多個n成立，而1n（pn）→o，因此兩者之比的最小值對於孿生素數集合（從而對於整個素數集合也）趨於零。不過要注意△=0只是孿生素數猜想成立的必要條件，而不是充分條件。換句話說如果能證明△子0則孿生素數猜想就不成立，但證明A=0卻並不意味著孿生素數猜想就一定成立。

對於A最簡單的估算來自於素數定理。按照素數定理，對於足夠大的x，在x附近素數出現的機率為1/ln（x），這表明素數之間的平均間隔為1n

（x）（這也正是A的表示式中出現In（pn）的原因），從而（pn+1-pn）/ln（pn）

給出的其實是相鄰素數之間的間隔與平均間隔的比值，其平均值顯然為1。

平均值為1，最小值顯然是小於等於1，因此素數定理給出A≤1。

美國麥克阿瑟基金會在2014年度的麥克阿瑟獎（MacArthur Fellows）授予21位獲獎者，華人數學家張益唐因在孿生素數猜想方面的突出貢獻獲獎。

張益唐在《數學年刊》上發表的這篇題為《素數間的有界距離》的文章，證明了存在無數多個素數對（p， q），其中每一對中的素數之差，即p和q的距離，不超過七千萬。

張益唐起到的作用就是把大海撈針的力氣活縮短到在水塘裡撈針，而他給出的方法還可以把水塘撈針輕鬆變為游泳池裡撈針。也許最後變成在碗裡撈針還需要一些再創新的工作。但給出了這一偉大框架已經是讓全世界數學家瞠目結舌的壯舉了。

張益唐在孿生素數上取得的突破讓學術界感到震驚

實際上，在文章被公佈於眾後，短短的一個月以內，七千萬就被菲爾茨獎獲得者陶哲軒發起的網上討論班縮小到六萬多。

在過去的幾年裡，包括陶哲軒在內的數學家一直致力於縮減這個素數差值，目前的最好結果是246，雖然無從知道是否有從246縮減到2的那一天，但數學家們在越來越接近孿生素數猜想的最終解。

2019年9月7日，數學家Will Sawin和Mark Shusterman釋出了一個證明，為孿生素數猜想的研究開闢了一條新的路徑。

新的證明是在一個被稱為有限數系統的設定探討孿生素數猜想。在有限數系統中，可用的數字可能只有少數幾個。這種數字系統被稱為“有限域”，儘管這是一個很小的域，但它們卻保有無限整數所擁有的許多數學性質。數學家一直試圖在有限域上解決算術問題，然後再將結果轉換成整數。

在對孿生素數猜想的研究陷入停滯期時，數學家們認為，若要徹底解決這個問題，就必須提出全新的方法，而有限數系統就是一個很好的選擇。

03

“孿生素數猜想”與著名的“哥德巴赫猜想”是姐妹問題，它也是現代素數理論中的中心問題之一，誰能解決它（不論是證明或否定），必將成為名揚千古的歷史人物。

“目前，哥德巴赫猜想和孿生素數猜想的最終解決都遇到很大瓶頸。”有學者表示，“孿生素數已有的最好結果是證明到246。如果沒有新的創新，無法將差值縮小到孿生素數猜想所需要的極致。

值得一提的是，不同於應用數學，純數學研究不需要預先持有任何特定的實用目的。張益唐認為他的結果沒有實用價值。

這不禁讓人想起1940年時數學家哈代寫道的：數學是最質樸和最冷峻的藝術和科學。他堅信數學要有精確的審美觀，一個數學證明應該像簡單而輪廓分明的星座，而不是銀河系中雜亂無章的星群。