剛剛，42也被人類寫成了三個整數的立方和！|哆嗒數學網

餘數可能是0的說法對嗎

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近日，有人在了麻省理工學院數學系的網頁上貼上了一個等式，

（-80538738812075974）^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3

等於多少自己算？ ——它居然等於——等於42！

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還記得哆嗒小編髮布的文章（人類第一次將33寫成了3個整數的立方和） 嗎 ，描述了33被寫成三個整數立方和的過程以及三立方和的問題背景。 當時提到，100以內還沒有寫成3個整數立方和的數只有42了。 ——當然，嚴謹的說9n±4的這些自然數除外，因為它們不可能寫成這樣的等式。

【袁嵐峰注：

一個立方數除以9只可能餘0（3n的立方）或者1（3n + 1的立方）或者-1（3n - 1的立方），所以把三個立方數加起來除以9，餘數只可能是0、正負1、正負2或正負3，不可能是正負4。

】

而近日，有人在了麻省理工學院數學系的網頁上貼上了一個等式，網頁同樣很簡單，但沒給出結果：

（-80538738812075974）^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3

等於多少自己算？——它居然等於——等於42！

在推特上，菲爾茲獎得主高爾斯也轉發了這個結果。

於是下面這句話成為定理：

除了9n±4型自然數外，所有100以內的自然數都能寫成三個整數的立方和。

據悉，發現此等式的數學家是來自布里斯托大小的Andrew Booker和來自麻省理工學院的Andrew Sutherland 。

如果有人要問，此結果有什麼用？數學家們負責發現數學規律，有沒有用之類的問題不是數學家必須回答的——但是搞這個本身很好玩不是嗎？

這意味著，最小的沒被寫成三個整數立方和的自然數為114。

附上100以內三立方和的非零解全表（多種寫法選取其中一個）

1 = （-1）³ + 1³ + 1³

2 = 7³ + （-5）³ + （-6）³

3 = 1³ + 1³ + 1³

4不可能

5不可能

6 = （-1）³ + （-1）³ + 2³

7 = 104³ + 32³ + （-105）³

8 = （-1）³ + 1³ + 2³

9 = 217³ + （-52）³ + （-216）³

10 = 1³ + 1³ + 2³

11 = （-2）³ + （-2）³ + 3³

12 = 7³ + 10³ + （-11）³

13不可能

14不可能

15 = （-1）³ + 2³ + 2³

16 = （-511）³ + （-1609）³ + 1626³

17 = 1³ + 2³ + 2³

18 = （-1）³ + （-2）³ + 3³

19 = 19³ + （-14）³ + （-16）³

20 = 1³ + （-2）³ + 3³

21 = （-11）³ + （-14）³ + 16³

22不可能

23不可能

24 = （-2901096694）³ + （-15550555555）³ + 15584139827³

25 = （-1）³ + （-1）³ + 3³

26 = 297³ + 161³ + （-312）³

27 = （-1）³ + 1³ + 3³

28 = 14³ + 13³ + （-17）³

29 = 1³ + 1³ + 3³

30 = （-283059965）³ + （-2218888517）³ + 2220422932³

31不可能

32不可能

33 = 8866128975287528³ + （-8778405442862239）³ + （-2736111468807040）³

34 = （-1）³ + 2³ + 3³

35 = 14³ + （-8）³ + （-13）³

36 = 1³ + 2³ + 3³

37 = 50³ + 37³ + （-56）³

38 = 1³ + （-3）³ + 4³

39 = 117367³ + 134476³ + （-159380）³

40不可能

41不可能

42 = （-80538738812075974）³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³

43 = 2³ + 2³ + 3³

44 = （-5）³ + （-7）³ + 8³

45 = 2³ + （-3）³ + 4³

46 = （-2）³ + 3³ + 3³

47 = 6³ + 7³ + （-8）³

48 = （-23）³ + （-26）³ + 31³

49不可能

50不可能

51 = 602³ + 659³ + （-796）³

52 = 23961292454³ + 60702901317³ + （-61922712865）³

53 = （-1）³ + 3³ + 3³

54 = （-7）³ + （-11）³ + 12³

55 = 1³ + 3³ + 3³

56 = （-11）³ + （-21）³ + 22³

57 = 1³ + （-2）³ + 4³

58不可能

59不可能

60 = （-1）³ + （-4）³ + 5³

61 = 845³ + 668³ + （-966）³

62 = 3³ + 3³ + 2³

63 = 7³ + （-4）³ + （-6）³

64 = （-1）³ + 1³ + 4³

65 = 91³ + 85³ + （-111）³

66 = 1³ + 1³ + 4³

67不可能

68不可能

69 = 2³ + （-4）³ + 5³

70 = 11³ + 20³ + （-21）³

71 = （-1）³ + 2³ + 4³

72 = 7³ + 9³ + （-10）³

73 = 1³ + 2³ + 4³

74 = （-284650292555885）³ + （66229832190556）³ + （283450105697727）³

75 = 4381159³ + 435203083³ + （-435203231）³

76不可能

77不可能

78 = 26³ + 53³ + （-55）³

79 = （-19）³ + （-33）³ + 35³

80 = 69241³ + 103532³ + （-112969）³

81 = 10³ + 17³ + （-18）³

82 = （-11）³ + （-11）³ + 14³

83 = （-2）³ + 3³ + 4³

84 = （-8241191）³ + （-41531726）³ + 41639611³

85不可能

86不可能

87 = （-1972）³ + （-4126）³ + 4271³

88 = 3³ + （-4）³ + 5³

89 = 6³ + 6³ + （-7）³

90 = （-1）³ + 3³ + 4³

91 = 364³ + 192³ + （-381）³

92 = 1³ + 3³ + 4³

93 = （-5）³ + （-5）³ + 7³

94不可能

95不可能

96 = 10853³ + 13139³ + （-15250）³

97 = （-1）³ + （-3）³ + 5³

98 = 14³ + 9³ + （-15）³

99 = 2³ + 3³ + 4³

100 = 7³ + （-3）³ + （-6）³

背景簡介：

本文2019年9月6日發表於微信公眾號

哆嗒數學網

（https：//mp。weixin。qq。com/s？ __biz=MzUzMTA2MDk1NA==&mid=2247487331&idx=1&sn=65dffa7e30a12ce7e18c8a72666d2e5d），風雲之聲獲授權轉載。

責任編輯：

孫遠，