從“複數”說起 精選

數學教師該知道什麼？這個問題很重要，也很嚴肅。

我們的數學教育從小學到大學都處在一種混沌狀態，很多人包括改革者似乎並不知道數學教育到底該怎麼進行，我們該教給學生什麼，什麼是真正的素質教育，我們改來改去始終沒有跳出材料的重新組合與增減的怪圈。

昨天給數學教育碩士做了個講座，講座純屬即興的，事先沒有做準備，只想了想講什麼主題，記得曾經聽過中學教師關於“複數”的教學，就從“複數”開始。我首先介紹了那個老師是如何講複數的，然後闡述了我的觀點，我說道：“我們的中學教育一直陷在應試教育的泥潭中無法自拔，任何個人進行哪怕是一點點改革也要圍繞著應試教育、如何提高學生成績上做文章，否則你做再多的改革，如果升學率上不去，你就什麼也不是。可是，如果中小學教育真的來個大的變革，你能不能適應？你知不知道真正的數學教育是什麼？如果我們不做好準備，也許歷史終將把我們淘汰。因此，作為即將走上中小學數學教育崗位的教師，應該認真思考一個問題：‘如何在應試教育與數學教育間尋找一種平衡？’目前，在中學，通常是一二年級把三年的課程全部講完，三年級全力以赴複習迎考，這個現實是我們改變不了的，但我們可以在一二年級的教學上大做文章。就以複數為例，至少我們應該向學生講清楚複數的產生以及它對自然科學與數學所帶來的深刻影響，這樣不僅提高了學生的學習興趣，也潛移默化地教育學生如何發現問題、分析問題、解決問題，問題是我們對這些瞭解多少？我們能教給學生多少？從這個意義上說，數學教師的數學眼界與數學修養與數學研究工作者的眼界與修養同樣重要。”接著，我介紹了複數的產生及後續的歷史以及給數學、自然科學帶來的重大影響。

複數最早出現在

16

世紀關於三次方程的研究（也有人認為更早），歷史上人們普遍認為數學產生了三次危機：無理數的出現、無窮小概念的模糊不清以及集合論中產生的悖論。其實複數的出現也曾經引起數學界極大的爭議，很多數學家不承認它的存在，

萊布尼茨這樣評論虛數：“虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”。尤拉則說；“一切形如

i

的數學式子都是不可能有的想象的數，因為它們所表示的是負數的平方根。對於這類數，我們只能斷言，它們既不是什麼都不是，也不比什麼都不是多些什麼，更不比什麼都不是少些什麼，它們純屬虛幻。”把複數與幾何（向量）對應起來從而賦予複數幾何上的解釋應該歸功於高斯，不僅如此，高斯還給複數定義了加法與乘法運算，從而使得複數可以像實數一樣代數化。尤拉在十八世紀中葉提出了著名的尤拉公式

：

cosx+isinx=e^{ix}

經過數學家們

200

多年不懈的努力並建立起完備的複數理論，才給複數這一數學上的幽靈揭去了神秘的面紗，使得它成為數系大家庭中的一員。

老師在引入虛數概念時完全可以將這些歷史淵源向學生介紹，既可以讓你的課堂趣味盎然，又增強學生學習的信心，知道歷史上一個概念的產生是多麼的不容易。更重要的是，透過對歷史的回顧，讓我們瞭解了複數在幾何直觀上表示什麼？就以虛數單位

i

來說，它遠不是代表縱軸上的點那麼簡單，因為我們還賦予了複數運算，如果結合i

^{2}=-1

來看，幾何上i

實際代表了旋轉，實軸上的點

a

乘上i

等於將該點旋轉到了縱軸上，再乘一次i

又轉到了實軸上，相當於把點

a

旋轉了

180

度，由此可見，i

代表了逆時針方向

90

度的旋轉。複數的運算也可以找到它的幾何意義，特別是加法運算可以對應力的合成，這樣學生就沒有突兀之感了。

也許我們不必向學生過多地介紹複數給數學及自然科學帶來的重大影響，但作為教師應該瞭解他們，在實際的教學過程中視情況決定講到什麼程度。接著我介紹了複數給數學帶來的深刻影響，其中也包括傅立葉分析。很難想像，如果沒有複數，函式論會有今天的輝煌，如果沒有複數，函式論會與幾何結合得如此緊密。如果沒有複數，飛機或許不會那麼早上天，水壩、水電站等技術問題的解決說不定會再晚若干年。

這裡順便再說說卷積，卷積作為一個數學概念，可以描述自然界很多常見的現象包括音樂。就以彈鋼琴為例，且不說彈鋼琴需要十指聯動，就說這琴鍵敲擊鋼琴所產生的延時現象就是個卷積問題。鋼琴的底部有三個踏板，如果你踩住其中一個，那麼當你彈完一個音符再彈下一個音符時，前一個音符不會有延時現象，換句話說，你聽到的是純粹的第二個音符的聲音，這就好比你敲鑼時突然用手捂住銅鑼，銅鑼一下就啞巴了。仔細比較可以發現，如果沒有前面音符的延時，你一定會感覺彈出的音樂有點呆板，缺少韻味，這種現象就可以用卷積來描述，這與系統的衝擊響應是類似的。

卷積對數學帶來的影響是深刻而巨大的，它不僅促使積分方程理論的產生，也給代數帶來了重要影響。我們知道兩個

L^1

函式的通常乘積不再是

L^1

函式，但兩個

L^1

函式的卷積仍然是個

L^1

函式，於是卷積使

L^1

成了代數。在很多情況下，代數的單位元發揮了至關重要的作用，例如元素的可逆性就離不開單位元。然而，很多代數並沒有單位元，如何解決這個問題？一個辦法是擴張原來的代數，使其具有單位元，另一個辦法是尋找單位元的替代物，這就是所謂的漸近單位。以博文《大話卷積》中討論的傅立葉級數的收斂性為例，我們把級數的收斂性轉換成了函式

f

與

Dirichlet

核函式

D_{m}

卷積的收斂性問題，即判斷

f*D_{m}

是否收斂到

f

，這裡

D_{m}

就是所謂的漸近單位，漸近單位在賦範代數（運算元代數）的研究中是個常見的概念。

從函式論或積分方程的角度看，卷積的本質是什麼？我以為，卷積的本質在於用“好”的函式近似“壞”的函式，卷積是個特殊的帶核的積分，一般情況下，核函式是個比較好的函式（光滑，有些可能帶奇異點），核函式與一個可積函式（例如上面的

D_{m}

與

f

）乘積後作積分得到一個新的函式，這就是所謂的積分運算元（對映），這些運算元具有什麼樣的性質？這是積分運算元理論的基本問題。與卷積相比，積分運算元要複雜得多，其涵蓋的數學問題也多得多，如

Cauchy

問題、

Dirichlet

問題等都可以歸於帶核的積分問題，這是個龐大的數學分支，絕不是一兩篇博文能說清楚的。

回到數學教育，撇開應試教育不談，我認為，數學教育改革的根本不在於教材怎麼寫，也不在於課堂教學內容如何更新，而在於如何提高數學教師的數學素養。