費爾馬大定理最簡單的證明

費爾馬大定理的命題為：“a的n次方 + b的n次方 = c的n次方”在 a，b，c，n都是非零正整數的情況下，n的值只能是1和2 。

下面給出證明。

n取1的話，a，b，c可以為正整數我們無須證明。

我們現在來考慮n為大於1的正整數的情況，首先把n取一個大於1的固定值，讓a和b各自從1開始，到2，再到3，再到4······這樣以正整數逐步增加，我們可以發現c的值隨著a，b的值增加而增加，並且是一系列以開n次方的無理數在增加。

c 的值在逐步增大，假如我們突然發現，c 的值出現了一個正整數。

這個時候我們可以用三根數軸c，a，b來描述c，a，b，讓三根數軸c，a，b處於一個平面內。

我們可以大致判斷一下，這個時候c大於a和b，而小於a+b，c，a，b又都是正整數，所以，數軸c，a，b可以組成一個三角形，令θ 為a和b之間的夾角，這樣有：

c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosθ

如果c^2 = a^2 + b^2也能夠成立，和上式比較有：

- 2abcosθ = 0

上式a，b為大於零的正整數，所以cosθ = 0，這樣θ 為90度直角，a，b，c可以組成一個直角三角形，c是斜邊，我們知道， 直角三角形中a，b各自從1開始以正整數增加，c開始以開2次方的無理數在增加。

前面的方程：

a的n次方+b的n次方= c的n次方

中，當a，b各自從1開始以正整數增加時，如果和“c的值的增加量是開n次方的無理數”不矛盾的話，n的值只能是2。

因為n取3的話，是以開3 次方無理數開始增加的，n取4的話，是以開4次方無理數開始增加的······，以此類推。

證畢。

還有兩個推論，n大於2的時候，方程沒有有理數解。

我們用尺子和圓規在平面上畫不出開n（n為大於2的正整數）次方的無理數。這個也是費爾馬定理對應的物理實質。

作者，張祥前