您現在的位置是:首頁 > 垂釣
與圓相關的取值範圍問題破解策略
- 由 慧學堂圖形與數學思維 發表于 垂釣
- 2022-12-09
長方形立方體積怎麼算
難度係數★★★
【方法與技巧】
在諸多與圓相關的一些中高檔題型中,定點、動點、定長等形成幾何關係的“量”無疑具有核心地位的作用;而
擅於
發現並抓住核心往往是破解問題的關鍵。本專題將此類題型詳細歸納如下:
(1)與切線相關:過圓外一點做圓的切線;切線長與切點到圓心的距離有關。
(2)與弦長有關:直線截圓所得弦長與圓心到直線的距離相關。
(3)與切線的數量積及切線角的大小有關。
【典例1】已知圓O的半徑為1,PA、PB為該圓的兩條切線,求
的最小值。
[分析]
設∠APO=θ,則
=
=
(1-
)=(
-1)(1-2
)=
+
-3≥
=2
-3,當且僅當
=
時等號成立,
的最小值為2
-3。
【典例2】設點M(x,1),若在圓O:x+y=1上存在點N,使得∠OMN=45°,求x的取值範圍。
[分析]
如上圖過M做圓的切線MP,設∠OMP=θ;則當N在圓上運動時,∠OMN∈[0,θ],故滿足條件的θ≥45°;其臨界狀態為θ=45°,此時三角形OPM為等腰直角三角形(M點位於M1或M2),所以x∈[-1,1]。
【典例3】已知直線的方程為x+y=4;圓O的方程為x+y=r(r>0),若圓上恰有2個點到直線的距離為
。求半徑r的取值範圍。
[分析]
如圖所示,當圓位於兩虛線形成的圓環內部時,圓上恰有2個點到直線的距離為
。故只需求出虛線兩圓的半徑即可。
【典例4】已知橢圓C:
+
=1(a>b>0),圓E:
+
=
,過橢圓上的點P做圓的兩條切線;切點分別為A,B,若∠APB=90°,求橢圓C的離心率的取值範圍。
[分析]
如圖,由題意可知四邊形OAPB為正方形;故可得
=
=
。所以問題等價於橢圓上存在到原點距離為
b的點,因此a≥
;即
≥2
=2(
);解得e∈[
)。
【鞏固練習】(1)已知直線方程x+y=4,圓O的方程
+
=
(r>0),若圓上恰有4個點導致線的距離為
,求半徑r的取值範圍。
(2)已知直線:ax+by-1=0(a>0,b>0),圓O的方程
+
=4,若圓上恰有3個點到直線的距離為1,求ab的取值範圍。
想了解更多精彩內容,快來關注慧學堂數學思維訓練