新授課：例題習題！如何選題？

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通常認為，數學教學由若干個環節，如新授課、習題課、複習課、作業、測驗，以及試卷講評課等環節組成。其中，

新授課、習題課、複習課和試卷講評課，是以課的形式出現的，一般稱為“課型”；

而作業是附屬於各種課之後的；

測驗則可以是一種課，也可以附屬於某課之後（小測驗）。

各個環節一般都離不開數學題，這是數學教學的特點之一。

—般情況下，新授課上會安排例題、習題，作用是側重於鞏固新知。之後往往還會專門安排習題課，作用側重於運用所教的知識技能，形成某些數學題的解題技能。

一個單元之後，一般會安排複習課復習課上通常也會安排例題、習題，其作用側重於知識技能的綜合運用。

但是，新授課、習題課、複習課的課型不能機械劃分，其中的例題、習題的作用也不能機械地劃分，它們是互相交叉的，互相滲透的。

新授課：例題習題！

如何選題？

一

、關於新授課的習題教學的一般認識

新授課是以傳授新知識，獲取新技能為特徵的一種課型，是數學課的主要課型。一般而言，新授課的任務是學習概念、公式、法則、定理等新知識，理解和初步運用這些新知識。

其課堂結構常常是：複習、匯入新知、講授新知、鞏固新知、總結、佈置作業。在每個步驟中，往往都會利用例題和習題。

新授課的例題、習題的作用主要體現在兩個方面：

一是為引入概念、定理、法則服務 的例題；

二是為鞏固概念、定理、法則服務的例題、習題。

不要以為，新授課裡的概念、定理、法則懂了，就能夠順利運用，能夠順利解題。概念、 定理、法則和今後的解題，兩者之間是有條“溝”的，懂了，未必會了。

有經驗的教師由於有足夠的預見性，會考慮到怎麼講概念、定理和法則，做怎樣的鋪墊，對今後解題更有效。

為鞏固新授課的概念、定理、法則的例題、習題，不要太難。這一點下文會進一步論述。

就目前情況看，新授課裡的例題、習題教學往往有盲區。

一是概念、定理、法則的引入過於馬虎，一帶而過，急於講解例題，佈置習題，把新授課混同於習題課。

其實，由於概念、定理、法則的理解不透徹，為今後的解題埋下了隱患。

二是例題、習題往往過難。

如何使例題、習題的設定更加合理、發揮最大功能，提高新授課的課堂效益，值得研究。

二

、作為引入的例題

新授課是新知識入門課，概念、公式、法則、定理是新授課教學的重點，而概念、公式、法則、定理的引入則是關鍵之一。

引入的方式不一樣，就會使學生對概念的理解千差萬別，甚至會影響其數學觀。

奚定華老師在《數學教學設計》中，談到課的匯入功能有以下幾個方面：

引起學生注意，使學生進入學習的情境；

激發學習興趣和學習動機；

明確學習目的，調動學生學習的積極性；

建立知識之間的相互聯絡，為學習新的內容做好準備。

奚定華老師還提出了明確目的、短小精悍、別緻新穎、因課制宜四條原則。

本書只討論數學習題的教學，因此本節不準備全面論述數學課的引入。下面，就擔當新授課引入功能的數學題，談一些看法。

利用數學題作為新授課的引入，應該遵循以上幾條原則，當然也應該有其特殊性。作為新授課引入的教學題大致有以下幾種：

（

1

）

懸念型

就是利用數學題製造懸念，促進學生進一步學習的動機。一般說，充當懸念作用的數學題，應該是有趣的，和現實生活相關的，結果是出乎意料的，從而能夠引起學生驚訝、驚喜的。

（

2

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複習型

用已學的且與新授課有關的數學題引路，匯入新課，是一種聯舊引新的方法。透過複習舊知識、拓廣舊知識，使學生不滿足已有知識，並引導學生把知識深化。既複習了舊知，又可以以此匯入新知。這就是複習型的習題匯入。

（3）探索型

就是探討某些數學題，或者可以找到規律，或者遇到困難解不下去，以此引出新知識。

（4）趣味型

這方面例子很多，如，發明象棋的故事是引入數列的有趣的例子。這裡不予展開。

三

、作為鞏固的例題、習題

經過新授課上對概念、法則等的講解，學生初步理解了這些概念、法則，接下去，還必須消化、鞏固。

怎麼消化？怎麼鞏固？固然可以透過辨析、複述、記憶等方法，但對數學課而言，透過例題、習題來鞏固，效果更佳。

為什麼？因為解題的過程是學生動手做的 過程，自己做過的東西肯定印象比較深刻。

重視“雙基”是中國數學教學的特色。張奠宙教授在論述我國的“雙基”時說：

在理解和操作的關係上，不主張“理解第一”，而是兩者並重。

為了“理解”的課堂講解，必須精要，以便留下更多的時間用於求解數學問題。

在時間分配上，不必在數學理解階段停留太久，理解數學往往不可能一次完成，數學是需要“做”的。

因此，理解了當然要做題，不完全理解也可以做題，在做題的過程中加深理解。

這也許是多數人學習數學的途徑。

張教授的這段話精闢地指出了練習對理解數學概念法則的重要性，當然，張教授這段話，不意味著用不著講清概念、法則，只要動手做題就行了。

新授課的例題、習題有鞏固知識技能的作用，其選擇不同於習題課，更不同於複習課，應注意以下幾點。

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1

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基礎性

新授課的例題、習題，是在剛接觸新授的知識和技能之後的例題習題，因此更應該強調基礎性。

如果說，數學題的難度，有模仿、變式、綜合和應用、開放幾個層次的話，新授課的例題、習題應該處在模仿階段和初步變式階段。

儘管這幾個層次不是絕對的，但新授課的例題、習題總體說，不宜太難、太綜合、太開放。當然，基礎性是因班而異的。

鑑於此，筆者認為，對於承擔“雙基落實”任務的例題，應以教材、教學大綱（課程標準）與考試大綱（評價體系）為依據，與此直接相關的基本公式、資料要透過運算，達到熟悉、熟練，並加以記憶。

不要隨便超越教材、課程標準與評價體系的要求，難度增加的坡度不要過大。可是， 我們有些教師常常做著欲速則不達的事情。

初學提取公因式，就應該老老實實先做提取數字公因式和單項式公因式，不要一下子就要求提取多項式公因式。

就是數字公因式還有正數和負數之分，單項式公因式還有一個字母、多個字母，字母還各有不同的指數等情況。

特別是普通中學，要小步子前進。

對於基礎性，筆者還想說幾句。有些題，由於中考、高考的緣故，現在已經是常見題了，但是它大大超越了課程標準、教材的要求。

如，教材上只教一次函式，但中考出現了分段函式應用題，是脫離了基礎的。

因為分段函式本身就是個難點，不教分段函式知識，直接佈置分段函式應用題，這種跳躍式的處理，應該說是教學之忌。

有經驗的教師，會在講授這樣的應用題之前，補充分段函式的知識，補這個基礎，要把這個知識當作新授課來教。

類似的情況很多，如高中裡的抽象函式、遞推，都是超越了教材的，必須補這個基礎。

還有一些術語，如邏輯詞“恆成立”、“有一個”，工程、商務中的詞“坡比”、“利息”、“方位角”等，教材上都沒有介紹，教師必須把這些知識當作新授課來教。

（

2

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示範性、模仿性

模仿練習就是按照教師提供的模式進行學習，它直接依賴於教師的示範。模仿是必要的。

我們知道，沒有一定量的重複練習，是記不住的，是不能形成技能的。透過模仿：

一來可以熟悉公式、定理，熟悉方法，讓學生在頭腦中留下清晰的印記；

二是，初學一類解題方法，如幾何證明，利用方程解應用題，計算代數式的值，化簡代數式，數學歸納法……它們有各自的表達方式，事實證明，學生一下子接受這種表達方式，是有難度的。

因此，教師要起示範作用，並且要給一定量的練習讓學生模仿，習得規範的運算步驟和方法。

這應該也是新授課的任務。錯過了這個時機，以後再糾正就困難了。

因此，新授課題目的難度要從模仿開始，一個新的公式，應該先有帶模仿性的“代公式”的簡單練習，不要急於變式，急於增加“轉彎子”，急於做難題。

當然，模仿不宜過度，要適時向前推進。

（

3

）

辨析性

除了正面的基礎性習題模仿之外，問題具有辨析性，也是新授課例題、習題的特點。

一個概念、法則，常容易理解錯誤，則可以透過例題、習題（常常以填空題必擇題的形式出現）進行辨析。在具體設計時，可針對關鍵要素，釆用“否定假設法”設計。

基礎題裡，實際上有些基本方法已經涉及了。由於初學，必定不熟練，常會出現錯誤，因此要特別注意及時糾錯，並且要把糾錯過程和新授的知識技能聯絡起來。

如初學不等式時，常常在改變不等號方向問題上出現錯誤。

必須及時糾正這個錯誤，因為是初學，容易錯，也容易糾正，時間一長，就難以糾正了。

糾正時，要讓學生和新授知識——不等式性質——聯絡起來，如可以讓學生重新讀一遍性質，講講錯在哪裡，這樣可以達到在實踐中辨析新授知識的目的。

（

4

）

初步變式

光是模仿，難度不夠，而且因為單調，容易產生疲勞，所以我國的數學教學廣泛採用變式教學。

變式練習可貫穿數學習題教學的始終，無論是新授課、習題課、複習課的例題、習題，都可以應用變式的方法。

在新授課裡，只是將概念、法則、公式進行初步的變式，主要就是進行公式變形。

不要小看公式變形，實際上，這就開始形成了這個公式的等價命題系統或下游命題系統。這些“二手”結論對今後的解題是很有幫助的。

對於公式的變形問題.陳永明提出了四種基本的變形。

第一種是方向的變化，即公式的逆用。

第二種是要素角色的變化。

第三種是字母的泛化。這裡的泛化是指，公式中的字母可以用數字，也可以用別的字母（甚至一個式子） 代替。

（請思考：你遇到過類似的情況回？學生接受時有沒有困難？）

第四種是公式的特殊化和弱化。弱化的情形常常不引起大家的重視。其實，有時弱化的結論可以迅速解決問題。

四

、有益於解題的數學新授課教學

有經驗的教師能夠體會到，光掌握定理法則本身，還不能應付解題。也就是說，定理、公式、法則都記住了，都理解正確，但還是不會解題。

新授知識和解題。兩者之間有條“溝”——這是運用之“溝”。

光有知識，沒有掌握好解題的方法和技巧，是跨不過這條溝的。但是解題方法和技巧，常常是隱性的，難以言傳。

那麼，這隱性的解題方法和技巧，有沒有可能讓它顯性化,或者部分顯性化？

（1）

公式變形，著手建立下游命題系統

事實上，課本上的定理、公式可以進行引申，這引申出來的“二手”結論，形成等價命題系統或下游命題系統。

有了這樣的等價命題系統或下游命題系統，就會給以後的解題帶來很大的方便。

等價命題系統和下游命題系統，應該是逐步形成，逐步完整的，但在新授課上就應該開始著手構建，上面說到的公式變形，就是在構建等價命題系統或下游命題系統。

這和新授課例題、習題的基礎性並不矛盾。因為構建這個等價命題系統或者下游命題系統，仍是屬於基礎。

構建這麼個等價命題系統或者下游命題系統，必須對後續教材、後面會岀現的習題，特別是比較難的習題應該有所瞭解，有所預見。

如，上海現行初中教材引進了向量。在利用向量證明幾何題時，因為思維一時轉不過來，學生往往有很大的困難。

（

2

）

把新法則納入上游命題系統中

教了一個新法則，有經驗的教師還會做這樣一件工作。

如教了三角形中位線定理，讓學生回答：

證明兩線平行過去有多少種方法？現在又多了一種；

證明線段的倍分關係，過去有多少種方法？現在又多了一種。

這樣把新法則納入證明平行和線段倍分關係的上游命題系統中去。

這樣做，肯定對今後解題有益處。

似乎新授課只要把定理、法則講清楚就行了，其實優秀教師會把新授課和今後的解題、今後的教學結合起來，提前做好鋪墊。

中學數學教與學（zxsxjyx）節選自@《數學習題教學研究》（陳永明名師工作室）

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