三角恆等變換方法、技巧與結論，助你攻克高中數學三角函式問題

0. 必備基礎（要點）

1） 任意角、弧度制、任意角三角函式定義；

2） 同角三角函式基本關係式、誘導公式以及和角、差角、半形、倍角、輔助角的有關公式；

3） 三角函式影象、影象變換及其性質。

1. 基本問題說明

一般地，很少會把三角恆等變換問題作為單獨一個題目出現在考試中——即使有，也多見於單元測驗或模組測評中。

但是，三角函式的多數問題，如求值問題、求角問題、引數問題等，一般都需要先進行三角恆等變換，也即三角恆等變換作為一箇中間問題廣泛存在於各種三角函式題型中，以達成簡化式子、方便計算或變形/變換的目標。

換句話說，三角恆等變換是求解很多三角函式有關題目的關鍵一環

。而且，這些題目的難度很多時候會體現在三角恆等變換上，因為其中涉及的技巧多且應用靈活。

因此，本文特

把“三角恆等變換”作為一個獨立的三角函式基本問題

來論述。這樣，一方面可突出該基本問題的重要性，另一方面可系統地歸納與總結相關的一般方法、技巧與結論，有助於更完整、全面地掌握它們。

2. 解決問題的一般解法

三角恆等變換的本質是得到所需形式的代數式——既可能是化簡也可能是變形、甚至還可能是化繁（當然，多數情況下最終會得到一個更簡化的結果）。因此，三角恆等變換首先就要明確變換的目標，正所謂

有的放矢

。做好這點甚至比下述技巧更重要，往往起到事半功倍之效果。

切忌在還未弄清已知與未知之間的關係或聯絡，也未確定大致變換思路時，就開始

盲目套公式和運算

！

明確了大致的方向與目標，即可利用下述常用方法、技巧（俗稱‘招數’）與結論進行三角恆等變換：

1）

角的變換

- 將角度湊成或者變換成特殊角或所期望的角

提示

： 不要求強記上面這些湊角的具體方式，但需要具備這種思維意識與方法，並抓住其本質——所湊角為已知角與待求角之間“紐帶”。

2）

正餘弦和差式的平方互化

① 不同角時，可先得到正餘弦和差式的平方，再根據所求問題把平方的結果進行加或減運算，即可建立已知角與待求角之間的聯絡！

如已知sinx-siny和cosx-cosy，求sin（x+y）或tan（x+y）。

② 同角時，利用平方關係（cosα）^2 + （sinα）^2 = 1以及正餘弦和差式的平方，可在sinx + cosx、sinx –cosx和sinxcosx三項中，

知一求二！

3）

正切和差式的知二求一

由正切和差角公式可知，tan（α）±tan（β）、tan（α±β）、tan（α） tan（β）三項中，知二求一。

4）

弦切互化

① 由商數關係tanx = sinx/cosx （tanxcosx = sinx），在代數式為同次分式、二次分式等場合中，有時可透過弦切互化來便捷地求解問題。

② 利用倍角公式，可將兩不同角的正餘弦和差式，轉化為兩半形和或差的弦切函式。如已知sinx-siny和cosx-cosy，可先得出中間結果tan（（x±y）/2）。（

提示

：根據三角函式‘知一求所有’，可得sin（（x±y）/2）等其餘同角函式值）

5）

升、降冪法

–升、降冪是三角變換時常用的方法。

利用降冪公式（有時要結合（cosα）^2 + （sinα）^2 = 1），將高次三角函式降冪，使之與已知條件或某個可知條件的關係更近、甚至直接對接上，或者是為了簡化三角函式式，使運算更簡捷。

6）

函式名稱的變換

一般地，三角變換時，有時需要將函式名稱變換為同名函式。在三角函式中正餘弦是基礎，通常可化切為弦，變異名為同名（

注意

，此為一般原則，但不要絕對化）。

7）

常數代換

在三角函式運算、求值或證明中，有時需要將常數轉化為三角函式值，例如：。

8）

公式變形

三角恆等式是變換的依據，應熟練掌握三角恆等式的順用、逆用及變形應用。

9）

配對法

10）

換元法

整體地代換某些因子，可避免不必要的展開，減低解題過程的繁雜程度和減少失誤。

提示

：三角換元與根式換元是換元法常用的兩種情形。

11）

方程法

一般地，當題設有n個未知數時，若能找出或構造出n個方程（即等式），則可透過解方程組方便地求解這n個未知數

提示1

：不要遺漏隱式的同角基本關係式（cosα）^2 + （sinα）^2 = 1；

提示2

：方程思想是數學的重要思想之一，也是三角函式相關問題的基本方法。

12）

討論法

將問題化整為零、化難為易；適用於有絕對值號、未確定象限的角、含參問題等情形。

13）

平方法

是升冪的方法之一，常與“（cosα）^2 + （sinα）^2 = 1”結合來解題。這種方法並不少見，且適用時效果往往很好。如透過平方可使sinα±cosα與sinαcosα互化。

14）

影象法

利用三角函式影象及其性質，可方便、高效地進行直觀分析，進而便捷地求解問題。該方法要求同學具備快速、準確地畫（草）圖的能力。

15）

比例法

利用合比定理 a/b=c/d=（a+c）/（b+d），有時可方便地求解分式三角函式問題。

16）

項的分拆

17）

萬能代換法（即萬能公式）

將不同三角函式都

化成半形的正切或化成倍角的餘弦

，但一般有運算複雜且量大的缺點，適用於某些特定情形。

提示

：適用於cosα可知的情形，但具有運算複雜且量大的缺點。

19）

引入輔助角

詳見本號基礎知識文章“系統化，輕快學習高中數學三角函式之三角恆等變換有關必備知識”中有關“輔助角”的內容。

提示

：除了上述眾多招數，也得熟知三角恆等變換的一般原則，包括

有的放矢

、與誘導公式有關的‘

三化’原則

即“負角正化、大角小化、鈍角銳化”、以及與恆等變換有關的‘

三同’原則

即“同名、同角、同次”。

20）

幾個常見重要結論

（可透過有關的已知公式、定理與性質推匯出來）

③ 一個重要不等式：0<α<π/2，sinα<α

④ 三角形中，有sinA = sin（B+C）、cosA = -cos（B+C）、sin（A/2） = sin［（B+C）/2］。

⑤ 在任意非直角三角形中，有tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC。

3. 典型例題

提示

：三角恆等變換是多數求三角函式值與求角度值問題的關鍵環節，而後文將有專題講述求三角函式值與求角度值問題的方法與技巧，因此此類典型例題不是本文重點，以免贅述。

例1

已知f（x）=（sinx）^2 +√3sinxcosx + 2（cosx）^2，

（1）求函式f（x）的最小正週期及最值；

（2）求函式f（x）的單調區間。

講解

：

① 有關三角函式的複雜函式性質問題，可以運用輔助角公式，把函式式恆等變換為只有一個整體角的三角函式形式——即正弦型函式或餘弦型函式，然後再利用三角函式的性質來求解。這是處理三角函式問題的常見思路之一。

② “

倍角與輔助角結合

”是高考考查

正弦型函式

的一種常見題型。

③ 由解題過程可知，三角恆等變換是快速、準確解題的關鍵，而三角函式的概念及其性質是該類題型的基石。

例2

在三角形ABC中，已知sinAsinBsin（C-θ）= λ（sinC）^2，其中tanθ= 1/2（0<θ<π/2），若1/tanA+1/tanB+2/tanC為定值，則實數λ=？

講解

：

① 本題要求實數λ的值，由已知條件“sinAsinBsin（C-θ）= λ（sinC）^2”顯然無法解出，因為A、B、C未知；因此，只能從“1/tanA + 1/tanB + 2/tanC為定值”這個條件入手。

由已經學過的含參直線方程恆過定點問題的解題一般方法可知，在已知條件不足以直接求解時，常利用“分離引數 + 等式0×a=0的性質”的組合方法來求解。本題可參考類似思維，1/tanA + 1/tanB + 2/tanC為定值即為常數，則意味著其結果與變數A、B、C無關，即含變數A、B、C的項的係數應為0。由此，可得到我們所需要的等式，進而求得λ。

熟練掌握上述基本技能是

確定本題解題思路的關鍵

！

② 有了解題思路，接下來對1/tanA + 1/tanB + 2/tanC

進行三角恆等式變換

：一方面把已知式中的λ引進到這個式中來，另一方面再將這個式子變換、化簡為“常數單項或多項式 +（未知數單項或多項式）（含待求引數且不含未知數的單項或多項式）”的形式。

依題意可知係數即‘

含待求引數且不含未知數的單項或多項式

’應為0，由此得到待求引數的一個等式，然後解方程即可得解。

例3

已知sin（2α+β）=3sinβ，設tanα=x，tanβ=y，設y=f（x）。

（1）求證：tan（α+β）= 2tanα；

（2）求f（x）的解析式。

講解

：

① 本題演示了湊配角方法的應用，其關鍵在於始終瞄準待求問題所需要的角。

溫馨提示

：本文屬於高中數學《三角函式與平面向量》模組，更多資料正在創作中。歡迎持續關注——點選頂部的“關注”按鈕即可關注本號“輕快學習課堂”（

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