嚴格同頻的鐘擺長啥樣？帶你證明擺線的精確等時性

擺線越長 實驗誤差越小嗎

作者：大神團·馮偉

作者介紹：馮偉，新東方超尖生計劃授課老師，清華碩士。全國初中數學、物理、化學三項競賽一等獎，中國西部數學奧林匹克銀牌，北京市大學生數學競賽一等獎，全國大學生物理競賽一等獎，清華大學優秀碩士畢業生。

什麼是擺線?

說起擺線，可能同學們從它的另外兩個別名中更容易產生直觀的印象： 旋輪線和最速降線。

顧名思義，將一個圓沿直線無滑動的滾動時，圓周上一定點形成的軌跡即為旋輪線。一般稱該圓為旋輪線的母圓。

然而，回到我們今天的主題，作為這一曲線更為人熟知的大名——擺線，究竟是什麼含義呢，難道跟擺鐘有關係？

沒錯！ 今天我們就來探究一下襬線和擺鐘的關係。

擺鐘的發明

這要從歷史說起。

1581 年，義大利科學家伽利略 （Galileo） 有一次在教堂注意到頭頂的吊燈在來回擺動，於是他利用自己的心跳當計時器，發現吊燈的擺動週期是恆定的，與擺動幅度無關。

這一現象的發現促使他開始對單擺進行研究，希望能利用單擺的這一等時性質來製作走時精密的擺鐘。

然而他的願望並沒有實現。

最終，擺鐘的發明由 1656 年荷蘭科學家克里斯蒂安。惠更斯 （Christiaan Huygens） 完成。

其實，伽利略的觀察並不精確。

單擺的等時性僅在小角度擺幅下近似成立，擺幅越大，擺動週期也就越長。這就要求擺鐘的設計應將單擺的擺幅限定在一個恆定值下，否則由於摩擦力以及空氣阻力的影響，普通單擺的擺幅會逐漸縮小，從而影響鐘表的走時精度。

擺著擺著就亂了

最終，天才的惠更斯利用擒縱機構穩定了擺幅，解決了因擺幅不恆定導致走時不精確這一問題，然而他並沒有止步於此，他在思考另一個更完美的方案：

能不能造一個擺動週期與擺幅完全無關的鐘擺呢？

擒縱機構將鐘擺擺幅保持恆定

擺線登場

先將問題簡單轉化一下：透過受力分析，我們容易看出，長度為l的細繩懸掛重物形成的單擺擺動，和不計摩擦，僅重力做功下重物在半徑l的圓弧線上往復運動，

是完全等效的

。

物理中常用的等效轉化思想

惠更斯便想先找到這樣一條曲線：當重物受重力作用在該曲線上往復運動時，運動週期和運動幅度完全沒有關係。然後再將這樣的運動轉化成擺動。

相信大家已經猜到了，沒錯，這種具有精確等時性的曲線就是擺線！

擺線的精確等時性

擺線的等時性

下面我們就來詳細說說為什麼擺線具有這種等時性。

小球在擺線上的運動

可等效為圓周上勻角速度質點

在擺線上的的水平投影

漸伸線與漸屈線

有了擺線的等時性，接下來我們要做的就是將重物在擺線上的運動轉化成擺動了。

為了實現這一目標，需要先來做些知識上的鋪墊：

對於曲線AB，我們設想在其上附一根柔軟不可伸縮的絲線，然後固定絲線一端，另一端拉緊並逐步剝離伸展，這時絲線端點就形成了一條軌跡曲線， 我們稱之為原曲線AB的

漸伸線

。

當然，如果絲線長度短一些，從C點剝離伸展，這樣也能畫出一條漸伸線。

因此，平滑曲線具有無窮多條漸伸線。

從漸伸線的做法中我們不難看出，漸伸線的法線是原曲線的切線。並且弧AB的長等於切線 （在A點的） 在切點和透過B點的漸伸線中間的線段的長。

我們已經知道了漸伸線的做法，那如果給了漸伸線，如何作他的原曲線呢？

我們可以利用漸伸線的性質，做這條曲線的若干條法線，這些法線形成的包絡稱之為漸屈線。容易看出，漸屈線就是我們要找的原曲線。

這裡同學們不用擔心漸屈線的存在性問題，因為數學家已經證明了，除直線和圓以外，任何一條平滑的曲線都具有唯一的漸屈線，不過這裡涉及的數學知識較深，我們這裡就不過多展開了。

法線包絡形成漸屈線

擺線的漸屈線

回到我們的主題上來。

對於擺線上運動的重物，它的支撐力始終是擺線的法線方向，如要將其轉化成擺動，細繩也應始終處於擺線的法線方向，這讓惠更斯想到了漸伸線和漸屈線的概念。

我們在細繩兩端放置一對凸版，讓凸版外表面曲線的漸伸線是擺線，這樣小球擺動的軌跡不就恰好是擺線了？

從而，我們只需要找到擺線的漸屈線就可以了。非常巧合的是，這條漸屈線也是擺線！

下面我們來說明這一點：

擺線擺鐘

惠更斯利用擺線的精確等時性以及擺線的漸伸漸屈線仍是擺線的性質，最終造出了他心中“完美”擺鐘。

它長下圖這樣。

惠更斯發明的擺線擺鐘，你能從中找到擺線嗎？

同學們，現在你們瞭解擺線和擺鐘之間的關係了嗎？ 歷史上擺線確實曾在擺鐘裡出現過呢，但是為什麼後來的擺鐘並沒有沿用這種設計呢？

主要原因是，工程應用與理論研究還是有很大差別的。

惠更斯發明的擺線擺鐘本意是想修正普通單擺擺鐘週期不恆定導致的誤差，但是實際上影響擺鐘週期精度的因素很多，在小擺幅下單擺的誤差影響只佔很小一部分，並且由於擺線擺鐘兩側凸板和擺繩有摩擦力，造成了更大的誤差，走時反而更不精確了。

因而這種擺線擺鐘並沒有普及開來。不過他的科學研究成果，仍是後人的一筆寶貴的財富。

參考資料：別爾曼。擺線［M］。中國青年出版社，1956。

作者介紹：馮偉，新東方超尖生計劃授課老師，清華碩士。全國初中數學、物理、化學三項競賽一等獎，中國西部數學奧林匹克銀牌，北京市大學生數學競賽一等獎，全國大學生物理競賽一等獎，清華大學優秀碩士畢業生。新東方智慧學堂（zhihuixuetang_xdf），與精英為伍，成就未來精英。