高中數學：考前30天，掌握最有效的複習方法，值得看的乾貨分享

現在距離2020年高考已經不到30天了，2020屆的高考小夥伴們，不知道你們是不是已經準備好了？今天小編作為一個高考過來人，給學弟學妹支招，讓大家都能考上自己心儀的大學，前程似錦！ 離高考不到30天，如何利用好這最後的一個月？

那就是————找到更有效的複習方法！用比別人快一倍的速度去複習更多的知識。（偷偷告訴你，文末還有北大博士邱崇詳細講解的數學秒殺技巧影片，不要錯過哦）。

先來總結三招：

提分第一招：破解知識點核心奧秘

系統歸納高中數學考綱

所有必考考點

，幫你節省70%總結時間，學習更高效。

提分第二招：必考考點秒殺技巧精講

帶你吃透

20個秒殺技巧

，基礎差，也可透過技巧30分鐘內小題80分全對秒殺！每個技巧配套練習，無論題型如何變化，都能一眼識破並做對！

提分第三招：99%好評壓軸預測

脫離“刷題苦海”！輕鬆擊破高考重、難題，讓數學突破130分！

乾貨總結（收藏好喲）：

1，適用條件：

［直線過焦點］，必有

ecosA=(x-1)/(x+1)

，其中A為直線與焦點所在軸夾角，是銳角。x為分離比，必須大於1。註上述公式適合一切圓錐曲線。如果焦點內分（指的是焦點在所截線段上），用該公式；如果外分（焦點在所截線段延長線上），右邊為（x+1）/（x-1），其他不變。

2，函式的週期性問題(記憶三個)：

①、

若f(x)=-f(x+k)，則T=2k;

②、

若f(x)=m/(x+k)(m不為0)，則T=2k;

③、

若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，則T=6k

。注意點：a。週期函式，週期必無限b。週期函式未必存在最小週期，如：常數函式。c。週期函式加週期函式未必是週期函式，如：y=sinxy=sin派x相加不是週期函式。

3，關於對稱問題(無數人搞不懂的問題)總結如下：

①，若在R上（下同）滿足：f（a+x）=f（b-x）恆成立，對稱軸為x=（a+b）/2；②、函式y=f（a+x）與y=f（b-x）的影象關於x=（b-a）/2對稱；③、若f（a+x）+f（a-x）=2b，則f（x）影象關於（a，b）中心對稱。

4，函式奇偶性：

①、對於屬於R上的奇函式有f（0）=0；②、對於含參函式，奇函式沒有偶次方項，偶函式沒有奇次方項③，奇偶性作用不大，一般用於選擇填空。

5，數列爆強定律：

①，等差數列中：S奇=na中，例如S13=13a7（13和7為下角標）；②，等差數列中：S（n）、S（2n）-S（n）、S（3n）-S（2n）成等差；③，等比數列中，上述2中各項在公比不為負一時成等比，在q=-1時，未必成立；④，等比數列爆強公式：S（n+m）=S（m）+qmS（n）可以迅速求q。

6，數列的終極利器，特徵根方程。

首先介紹公式：對於an+1=pan+q（n+1為下角標，n為下角標），a1已知，那麼特徵根x=q/（1-p），則數列通項公式為an=（a1-x）p（n-1）+x，這是一階特徵根方程的運用。二階有點麻煩，且不常用。所以不贅述。希望同學們牢記上述公式。當然這種型別的數列可以構造（兩邊同時加數）。

7，函式詳解補充：

①、複合函式奇偶性：內偶則偶，內奇同外；②、複合函式單調性：同增異減；③、重點知識關於三次函式：恐怕沒有多少人知道三次函式曲線其實是中心對稱圖形。它有一個對稱中心，求法為二階導後導數為0，根x即為中心橫座標，縱座標可以用x帶入原函式界定。另外，必有唯一一條過該中心的直線與兩旁相切。

8，常用數列bn=n×(2n)求和Sn=(n-1)×(2(n+1))+2記憶方法：

前面減去一個1，後面加一個，再整體加一個2。

9，適用於標準方程(焦點在x軸)爆強公式：

k橢=-{（b）xo｝/{（a）yo｝k雙={（b）xo｝/{（a）yo｝k拋=p/yo注：（xo，yo）均為直線過圓錐曲線所截段的中點。

10，強烈推薦一個兩直線垂直或平行的必殺技：

已知直線L1：a1x+b1y+c1=0直線L2：a2x+b2y+c2=0若它們垂直：（充要條件）a1a2+b1b2=0；若它們平行：（充要條件）a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1［這個條件為了防止兩直線重合）注：以上兩公式避免了斜率是否存在的麻煩，直接必殺！

11，經典中的經典：

相信鄰項相消大家都知道。下面看隔項相消：對於Sn=1/（1×3）+1/（2×4）+1/（3×5）+…+1/［n（n+2）］=1/2［1+1/2-1/（n+1）-1/（n+2）］注：隔項相加保留四項，即首兩項，尾兩項。自己把式子寫在草稿紙上，那樣看起來會很清爽以及整潔！

12，爆強△面積公式：

S=1/2∣mq-np∣其中向量AB=（m，n），向量BC=（p，q）注：這個公式可以解決已知三角形三點座標求面積的問題！

13，你知道嗎?空間立體幾何中：

以下命題均錯：1，空間中不同三點確定一個平面；2，垂直同一直線的兩直線平行；3，兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；4，如果一條直線與平面內無數條直線垂直，則直線垂直平面；5，有兩個面互相平行，其餘各面都是平行四邊形的幾何體是稜柱；6，有一個面是多邊形，其餘各面都是三角形的幾何體都是稜錐注。

14，一個小知識點：

所有稜長均相等的稜錐可以是三、四、五稜錐。

15，求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n為正整數)的最小值。

答案為：當n為奇數，最小值為（n-1）/4，在x=（n+1）/2時取到；當n為偶數時，最小值為n/4，在x=n/2或n/2+1時取到。

16，〔(a+b)〕/2≥(a+b)/2≥√ab≥2ab/(a+b)(a、b為正數，是統一定義域)

17，橢圓中焦點三角形面積公式：

S=btan（A/2）在雙曲線中：S=b/tan（A/2）說明：適用於焦點在x軸，且標準的圓錐曲線。A為兩焦半徑夾角。

18，爆強定理：

空間向量三公式解決所有題目：cosA=|{向量a。向量b｝/［向量a的模×向量b的模］|一：A為線線夾角，二：A為線面夾角（但是公式中cos換成sin）三：A為面面夾角注：以上角範圍均為［0，派/2］。

19，爆強公式

1+2+3+…+n=1/6（n）（n+1）（2n+1）；13+23+33+…+n3=1/4（n）（n+1）。

20，爆強切線方程記憶方法：

寫成對稱形式，換一個x，換一個y。舉例說明：對於y=2px可以寫成y×y=px+px再把（xo，yo）帶入其中一個得：y×yo=pxo+px。

21，爆強定理：

（a+b+c）n的展開式［合併之後］的項數為：Cn+22，n+2在下，2在上。

22，切線長l=√（d-r）d表示圓外一點到圓心得距離，r為圓半徑，而d最小為圓心到直線的距離。

23，對於y=2px，過焦點的互相垂直的兩弦AB、CD，它們的和最小為8p。爆強定理的證明：對於y=2px，設過焦點的弦傾斜角為A。那麼弦長可表示為2p/〔（sinA）〕，所以與之垂直的弦長為2p/［（cosA）］，所以求和再據三角知識可知。（題目的意思就是弦AB過焦點，CD過焦點，且AB垂直於CD）。

24，關於一個重要絕對值不等式的介紹爆強：

∣|a|-|b|∣≤∣a±b∣≤∣a∣+∣b∣

25，關於解決證明含ln的不等式的一種思路：

舉例說明：證明1+1/2+1/3+…+1/n>ln（n+1）把左邊看成是1/n求和，右邊看成是Sn。解：令an=1/n，令Sn=ln（n+1），則bn=ln（n+1）-lnn，那麼只需證an>bn即可，根據定積分知識畫出y=1/x的圖。an=1×1/n=矩形面積>曲線下面積=bn。當然前面要證明1>ln2。注：僅供有能力的童鞋參考！！另外對於這種方法可以推廣，就是把左邊、右邊看成是數列求和，證面積大小即可。說明：前提是含ln。

26，簡潔公式：

向量a在向量b上的射影是：〔向量a×向量b的數量積〕/［向量b的模］。

27，說明一個易錯點：

若f（x+a）［a任意］為奇函式，那麼得到的結論是f（x+a）=-f（-x+a）〔等式右邊不是-f（-x-a）〕，同理如果f（x+a）為偶函式，可得f（x+a）=f（-x+a）牢記！

28，離心率爆強公式：

e=sinA/（sinM+sinN）注：P為橢圓上一點，其中A為角F1PF2，兩腰角為M，N。

29，橢圓的引數方程也是一個很好的東西，它可以解決一些最值問題。比如x/4+y=1求z=x+y的最值。解：令x=2cosay=sina再利用三角有界即可。比你去=0不知道快多少倍！

30，爆強公式：和差化積sinθ+sinφ=2sin［（θ+φ）/2］cos［（θ-φ）/2］sinθ-sinφ=2cos［（θ+φ）/2］sin［（θ-φ）/2］cosθ+cosφ=2cos［（θ+φ）/2］cos［（θ-φ）/2］cosθ-cosφ=-2sin［（θ+φ）/2］sin［（θ-φ）/2］積化和差sinαsinβ=［cos（α-β）-cos（α+β）］/2cosαcosβ=［cos（α+β）+cos（α-β）］/2sinαcosβ=［sin（α+β）+sin（α-β）］/2cosαsinβ=［sin（α+β）-sin（α-β）］/2

31，爆強定理：

直觀圖的面積是原圖的2/4倍。

32，三角形垂心爆強定理：

1，向量OH=向量OA+向量OB+向量OC（O為三角形外心，H為垂心）2，若三角形的三個頂點都在函式y=1/x的圖象上，則它的垂心也在這個函式圖象上。

33，爆強思路：

如果出現兩根之積x1x2=m，兩根之和x1+x2=n，我們應當形成一種思路，那就是返回去構造一個二次函式，再利用△大於等於0，可以得到m、n範圍。

34，常用結論：

過（2p，0）的直線交拋物線y=2px於A、B兩點。O為原點，連線AO。BO。必有角AOB=90度

35，爆強公式

：ln（x+1）≤x（x>-1）該式能有效解決不等式的證明問題。舉例說明：ln（1/（2）+1）+ln（1/（3）+1）+…+ln（1/（n）+1）<1（n≥2）證明如下：令x=1/（n），根據ln（x+1）≤x有左右累和右邊再放縮得：左和<1-1/n<1證畢！

36，函式y=(sinx)/x是偶函式。

在（0，派）上它單調遞減，（-派，0）上單調遞增。利用上述性質可以比較大小。

37，函式y=（lnx）/x在（0，e）上單調遞增，在（e，+無窮）上單調遞減。另外y=x（1/x）與該函式的單調性一致。

38，幾個數學易錯點：

f`（x）<0是函式在定義域內單調遞減的充分不必要條件；在研究函式奇偶性時，忽略最開始的也是最重要的一步：考慮定義域是否關於原點對稱！

39，不等式的運用過程中，千萬要考慮“=”號是否取到！研究數列問題不考慮分項，就是說有時第一項並不符合通項公式，所以應當極度注意：數列問題一定要考慮是否需要分項！

39，提高計算能力五步曲：

①，扔掉計算器；②，仔細審題（提倡看題慢，解題快），要知道沒有看清楚題目，你算多少都沒用！；③，熟記常用資料，掌握一些速算技巧；④，加強心算，估算能力；⑤，［檢驗］！。

41，一個美妙的公式…：

爆強！已知三角形中AB=a，AC=b，O為三角形的外心，則向量AO×向量BC（即數量積）=（1/2）［b-a］強烈推薦！證明：過O作BC垂線，轉化到已知邊上

42，①函式單調性的含義：

大多數同學都知道若函式在區間D上單調，則函式值隨著自變數的增大（減小）而增大（減小），但有些意思可能有些人還不是很清楚，若函式在D上單調，則函式必連續（分段函式另當別論）這也說明了為什麼不能說y=tanx在定義域內單調遞增，因為它的影象被無窮多條漸近線擋住，換而言之，不連續。還有，如果函式在D上單調，則函式在D上y與x一一對應。這個可以用來解一些方程。至於例子不舉了。②函數週期性：這裡主要總結一些函式方程式所要表達的週期設f（x）為R上的函式，對任意x∈R（1）f（a±x）=f（b±x）T=（b-a）（加絕對值，下同）（2）f（a±x）=-f（b±x）T=2（b-a）（3）f（x-a）+f（x+a）=f（x）T=6a（4）設T≠0，有f（x+T）=M［f（x）］其中M（x）滿足M［M（x）］=x，且M（x）≠x則函式的週期為2

43，③奇偶函式概念的推廣：

（1）對於函式f（x），若存在常數a，使得f（a-x）=f（a+x），則稱f（x）為廣義（Ⅰ）型偶函式，且當有兩個相異實數a，b滿足時，f（x）為週期函式T=2（b-a）；（2）若f（a-x）=-f（a+x），則f（x）是廣義（Ⅰ）型奇函式，當有兩個相異實數a，b滿足時，f（x）為週期函式T=2（b-a）；（3）有兩個實數a，b滿足廣義奇偶函式的方程式時，就稱f（x）是廣義（Ⅱ）型的奇，偶函式。且若f（x）是廣義（Ⅱ）型偶函式，那麼當f在［a+b/2，∞）上為增函式時，有f（x1）

44，④函式對稱性：

（1）若f（x）滿足f（a+x）+f（b-x）=c則函式關於（a+b/2，c/2）成中心對稱（2）若f（x）滿足f（a+x）=f（b-x）則函式關於直線x=a+b/2成軸對稱⑤柯西函式方程：若f（x）連續或單調（1）若f（xy）=f（x）+f（y）（x>0，y>0），則f（x）=㏒ax；（2）若f（xy）=f（x）f（y）（x>0，y>0），則f（x）=xu（u由初值給出）；（3）f（x+y）=f（x）f（y）則f（x）=ax；（4）若f（x+y）=f（x）+f（y）+kxy，則f（x）=ax2+bx（5）若f（x+y）+f（x-y）=2f（x），則f（x）=ax+b特別的若f（x）+f（y）=f（x+y），則f（x）=kx。

45，與三角形有關的定理或結論中學數學平面幾何最基本的圖形就是三角形①在非Rt△中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；②任意三角形射影定理（又稱第一餘弦定理）：在△ABC中a=bcosC+ccosB；b=ccosA+acosC；c=acosB+bcosA；③任意三角形內切圓半徑r=2S/a+b+c（S為面積），外接圓半徑應該都知道了吧④梅涅勞斯定理：設A1，B1，C1分別是△ABC三邊BC，CA，AB所在直線的上的點，則A1，B1，C1共線的充要條件是CB1/B1A·BA1/A1C·AC1/C1B=1。

44，易錯點：

①，函式的各類性質綜合運用不靈活，比如奇偶性與單調性常用來配合解決抽象函式不等式問題；②，三角函式恆等變換不清楚，誘導公式不迅捷。

45，易錯點：

③，忽略三角函式中的有界性，三角形中角度的限定，比如一個三角形中，不可能同時出現兩個角的正切值為負；④4，三角的平移變換不清晰，說明：由y=sinx變成y=sinwx的步驟是將橫座標變成原來的1/∣w∣倍。

46，易錯點：

⑤，數列求和中，常常使用的錯位相減總是粗心算錯，規避方法：在寫第二步時，提出公差，括號內等比數列求和，最後除掉係數；⑥，數列中常用變形公式不清楚，如：an=1/［n（n+2）］的求和保留四項

47，易錯點：

⑦，數列未考慮a1是否符合根據sn-sn-1求得的通項公式；⑧，數列並不是簡單的全體實數函式，即注意求導研究數列的最值問題過程中是否取到問題

48，易錯點：

⑨，向量的運算不完全等價於代數運算；⑩，在求向量的模運算過程中平方之後，忘記開方。比如這種選擇題中常常出現2，√2的答案…，基本就是選√2，選2的就是因為沒有開方；①①，複數的幾何意義不清晰

49，關於輔助角公式：

asint+bcost=［√（a+b）］sin（t+m）其中tanm=b/a［條件：a>0］說明：一些的同學習慣去考慮sinm或者cosm來確定m，個人覺得這樣太容易出錯最好的方法是根據tanm確定m。（見上）。舉例說明：sinx+√3cosx=2sin（x+m），因為tanm=√3，所以m=60度，所以原式=2sin（x+60度）。

50，A、B為橢圓x/a+y/b=1上任意兩點。若OA垂直OB，則有

1/∣OA∣+1/∣OB∣=1/a+1/b。

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