看看這位大神在三百多年前如何宅在家裡遠端學習微積分的

本文作者，Viktor Blasjo，烏德勒支大學數學教授。

翻譯作者，misakaNet，哆嗒數學網翻譯組成員。

校對：math001

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克里斯蒂安·惠更斯是牛頓和萊布尼茨之前那一代最偉大的數學家。他曾作為科學院的重要成員待在在巴黎，並在那裡度過了他一生中的最重要的時光，陪他在這的朋友們。那時萊布尼茨最想做的事無外乎加入這些令人尊敬的紳士們。萊布尼茨仰慕偉大的惠更斯以至於模仿他的一切，模仿他身為數學家的樣貌甚至是他的假髮。

由於當時時局動盪，加之法國政治環境惡化，外國人都被驅逐出境。萊布尼茨被迫回國，惠更斯也回到了他在荷蘭的家族豪宅。而學院的人也都被詆譭為反動的平庸之輩。

但惠更斯並沒有去過退休生活。儘管惠更斯年老體衰， 可他並沒有放棄在數學學習研究領域與時俱進。而這意味著他要學習他以前的學生萊布尼茨所研究出的微積分新理論。人們常說“青出於藍而勝於藍”，說的是學生有可能成為老師，這裡更有趣的是，老師有一天也會變成學生。

這件事的起因是。透過觀察那些年來惠更斯和萊布尼茨的通訊記錄，我們可以看出，惠更斯學習的實踐。我們也可以看到微積分的發明者萊布尼茨是怎樣教授微積分的，以及在數學領域獲得最高成就的人如何學習它。我們還可以看到科學院的前科學研究主任想在在微積分的前沿領域佔有一席之地，也得腳踏實地地拿起紙筆。這份通訊記錄是歷史上獨一無二的微積分起源的概覽。

惠更斯的表現並不是一個循規蹈矩的學生。他是並不是只會抄公式、問作業。數學證明的細節並不是最大吸引他的地方。他最想知道這些新知識有什麼用。他希望新的數學成果有更大的用武之地，不是為了單單的從邏輯上看起來正確，而是在更廣泛的範圍內成就有對人類有價值的事業。

因此，在掌握了求導之後，他懷疑二階求導是否只是流於形式，還是真的對某些東西有用。他寫信給萊布尼茨：

“我仍然對ddx（二階求導）一無所知，我想知道你有沒有遇到哪些必須要用到它的問題，這些才能給我學習它的動力。”

惠更斯的想要萊布尼茲告訴他：我為什麼要學習二階導數。引入它不是為了機械化的套公式，也不是為了證明而證明，抑或為了人為生造一些題目。不，絕不是那樣。隨便哪個數學家都可以編造出數不清的這種數學題目。一個新的數學理論一定不是靠解決它自己本身的問題來體現他的價值，而是靠著解決其他實實在在的問題來體現自己的價值。

萊布尼茨看懂了惠更斯的問題後，回覆道：

“至於ddx（二階求導），我經常要用到它。ddx之於dx，就好像外力之於物體，離心趨勢之於轉動速度。伯努利將其用於計算風帆形狀的曲線，而我把它們用於計算行星運動。”

我們關心二階導數不是因為其讓我們再做一次求導運算的符號意義，我們關心二階導數是因為它是數學上解決大量重要問題的好方法。你想要理解風把帆吹彎的機制嗎？你想要描述行星怎麼繞著太陽轉嗎？如果你想，那你也會想要理解二階導數。

這並非在說惠更斯對純數學和應用數學的偏好。舉例來說，惠更斯在撰寫關於研究鐘擺問題的著作時，從具體情況中獲得靈感，從而建立了一個徹底的數學模型來抽象且詳盡地描述漸屈線和漸開線。他給出了一份一般證明，例如，任何代數曲線的漸屈線都是代數的。這些理論值得最頑固的純粹主義數學家為之驕傲。

對於學習數學來說，最重要的不是應用而是動機。我們不會因為拒絕承認抽象數學的價值而放棄研究自然科學。我們研究自然科學因為她一再證明她自己有著出色的數學品味。而這是那些不能解決任何有價值問題，只能糾結技術上細枝末節的偽問題的平庸的數學家所遠遠不及的。惠更斯說道：

“我常常會認為，這些大自然展示給我們的曲線，以及大自然她自己描繪的曲線，可以說都具有十分顯著的特性。就比如我們平時隨處可見的圓。拋物線可以用來描述水的流動。橢圓和雙曲線，恰好就是日晷的指標投射下來的影子掃過的軌跡，這也是我們在生活中隨處可見的。輪子滾動一週輪子上固定的釘子可以描繪出擺線的軌跡。最後是懸鏈線，它在幾個世紀前就走進了人們的視野卻從未有人注意到它。在我看來，這幾種曲線的價值，人們在自然世界中發現並主動研究出來的，而不是人們為了應用微積分而單獨發明出來的。”

萊布尼茨肯定道：“你說的對，先生，不能純粹為了消遣而研究曲線。”

如果現代的微積分書僅僅依靠同樣的規則。翻閱任何一本標準的微積分課本章節最後的習題部分，你會發現大量的題目都“只是為了把微積分用在它們身上”而存在。——實際上這正是惠更斯所想要譴責的。當微積分的發明者和最優秀的學生都一致認同我們編寫課本的方式過於愚蠢的時候，或許我們應該停下來反思一下。

當看到惠更斯對指數表示式表明了相似的觀點時，現在的學生可能會對他更加同情：

“我必須承認，我無法理解把諸如未知數放在指數位置這種操作和自然之間的對應，除非你能指出它們有什麼值得一提的用處，否則我是不會考慮把它們引入幾何學的。”

萊布尼茨向他展示了那些表示式怎麼解決具體的問題的，但惠更斯仍不以為然：“我看不出這些表示式對於那有什麼幫助，因為我已經知道這個曲線很久了。”再說一次，先告訴我你的技術手段可以做什麼，否則我就沒有理由去研究它。如果我可以用其他方法做到同樣的事情那你依然不能說服我。

我希望我們能有更多的小惠更斯在我們今日的的微積分課堂上。並且我深感憂慮是我們的填鴨式教育讓不少學生遠離微積分學習，其中不乏可能成為像惠更斯這樣的大師的人。而後者甚至認為學習這樣的數學實在是在浪費時間。

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