活躍在立體幾何中的等體積法：四大應用

三垂線法是求什麼的

所謂“等體積法”，常見形式之一就是透過變換三稜錐（ 或四面體） 的頂點、底面來求三稜錐（ 或四面體） 的體積的方法．

透過“等體積法”不但可以求出三稜錐體積，而且還可以求出點（ 或直線） 到平面的距離，甚至還可以求出直線與平面所成的角以及二面角的平面角．

01 求錐體體積

圖1

本小題中，若直接求三稜錐P-MAC 的體積，則必然陷入求ΔACM 的面積、尋找並推理計算點P 到平面ACM 的垂線段的長度的“苦算”之中．

這裡，用“等體積法”的思想經過三次等積變換，將求三稜錐P-MAC 的體積巧妙地轉化為求直三稜錐M-ACN 的體積，從而避免了繁瑣的運算和推理過程，大大地降低了難度．

02求點到平面的距離

圖2

圖3

透過比較本小題中的兩種解法，不難發現，“等體積法”比“直接求解法”少了尋找及證明平面的垂線這一繁瑣環節．

用“等體積法”求點面距離採取了“設而不證”的思想，整個解題過程相對簡潔，很容易為學生所接受．

“等體積法”在求解點到平面的距離問題時確實比傳統直接求解要簡單而有效，關鍵是要如何經過等積變換轉化為容易求解的三錐體的體積．

03求直線與平面所成的角

圖4

斜線與平面所成的角是由斜線與斜線在平面的射影所組成的圖形． 而斜線在平面內的射影與平面的垂線密不可分，所以在求線面夾角的時候，常利用斜線段、垂線段和斜線段在平面內的射影所組成的直角三角形來求解．

因此，在解題時可考慮先用“等體積法”求出點面距離（ 即垂線段的長度） ，然後利用直角三角形中的正弦關係，便可求出所求線面角的正弦值，從而避免了找射影和確定線面角的麻煩．

04求二面角的平面角

圖5

尋找二面角的平面角常用“三垂線法”． 可以用“等體積法”求出點面距離． 再結合平面外一點到二面角的稜的距離，就可以利用直角三角形的邊角關係求出二面角的平面角的正弦值。

當然，在本小題中，熟悉空間位置關係的學生，容易發現點B 在平面ADE 的射影就是Ｒt△ABE 的斜邊AE 上的中點，讀者可以嘗試。

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