從高等數學的觀點出發，推匯出一元三次方程根的表示式

怎樣解一元三次方程

每一個三次曲線都有一個特殊的點，這就時高等數學中所說的拐點，所有三次曲線對於這個拐點總是中心對稱的

拐點是透過2次求導等於0得到的，這就是高等數學中判斷曲線凹凸性質的重要法則

所以我們對一元三次方程進行2次求導，就求出了拐點的橫座標-b/3a，這正是三次方程求根公式中的

現在把x換成x——b/3a，讓我們完成變形

上述變形後的方程對應的曲線圖形如下：

讓我們用p和q代替括號中的算式，如下

所以如果我們能搞明白怎麼解這個特殊的形式，那我們就能反向平移，解決原方程，一切都是美

為了分析我們的特殊形式，p和q在圖形中代表什麼呢？q其實就是y軸上的截距，而p就是在拐點處的切線的斜率

所以，改變q就會讓3次曲線上下移動，那麼改變p，我們看到p<0，曲線就像一個過山車

對於p>=0，曲線會像這樣拉長，於是只可能有1個解，但當p<0時，得到過山車曲線，我們有可能得到1個解，2個解或者3個解

為了搞明白當p<0時有多少根，我們需要知道兩個極值點到截距點的豎直距離

因為中心對稱，兩段綠色的長度相等，現在讓我們看看，我們可以得到多少根，如果黃色線段比綠色線段大，我們只有一個根，

怎麼做呢？我們對三次曲線求一次導數可以求出兩個極值點，而三次曲線的導數是一個2次方程，所以我們只需要求一個2次方程就能求出極值點點座標了，有了極值點和拐點的座標，現在就能把黃綠線段用具體表達式代入了，最後得出的是這個不等式

用同樣的思路，恰好有兩個解時對應的是這個不等式

有三個根時，對應的是這個等式

多以這個表示式告訴了我們方程有多少根，這不僅適用於p<0，也就是我們一直討論的過山車曲線，也適用於其他情況

當 p>0 時，只能得出一個根

但有一個特殊情況，當p和q都等於0時，方程只有一個根，但p和q不等式中得出的應該有兩個根，但可以透過定義為重根來修補這個漏洞

言歸正傳，總結一下，三次方程的判別式就像二次方程判別式一樣，在方程中起到非常重要的作用