引力場方程：“物質告訴時空如何彎曲，時空告訴物質如何運動”

著名物理學家惠勒用一句話來概括廣義相對論：“物質告訴時空如何彎曲，時空告訴物質如何運動”，如果用數學語言來表述惠勒對廣義相對論的解釋，就得到如下所示的引力場方程：

圖4-3-1：引力場方程（愛因斯坦方程）

引力場方程是個張量函式的微分方程。張量是向量概念的推廣。一個標量（比如溫度T）只用一個數值來描述，三維空間的向量（比如速度v

i

）需要用3個數（v

1

，v

2

，v

3

）來表示，因此速度向量需要用用帶一個下標i的v

i

表示。那麼，如何表示一個張量呢？由圖可見，引力場方程中的張量R

mn

、g

mn

、T

mn

等，都有兩個指標，表明它們需要用更多的“分量”來描述，被稱為2階張量。並且，這些張量是4維時空的張量，指標mn等於（0，1，2，3）。指標0代表時間，空間維則仍然用（1，2，3）表示。

（圖片來自網路）

如圖4-3-1所示，引力場方程的左邊與時空的幾何性質有關，用度規張量和曲率張量來描述。曲率張量代表時空的曲率；度規張量類似於量度時空的尺子和鍾。方程的右邊與時空中的物質-能量分佈情形有關，用能量動量張量來描述。引力場方程將時空的彎曲性質與物質能量的分佈情況聯絡起來，也就是說，物質分佈決定了時空的幾何性質。

在給定的時空幾何中，物質沿著時空的“短程線”（也稱之為測地線）運動，測地線是平坦空間中直線概念在彎曲時空中的推廣。換言之，牛頓將引力解釋成“力”，愛因斯坦則是將引力幾何化。比如說，在地球表面丟擲的物體並不按照直線運動，而是按照拋物線運動。牛頓引力理論這樣來解釋：地球對物體的“引力”使得物體偏離了直線軌道；而廣義相對論說，地球的質量造成了它周圍空間的彎曲，拋射體不過是按照時空的彎曲情形運動而已。拋物線是彎曲時空中的“直線”，即測地線。

（圖片來自網路）

不過，我們不用被圖4-3-1中引力場方程複雜的表示式嚇到，如果忽略張量的指標，它可以被表示成一個更為簡單並方便理解的形式：

R = 8pT （4-1）

公式（4-1）中的R代表時空彎曲（曲率），T代表物質（包括能量）。所以，引力場方程所表示的只不過是一句話：物質產生時空彎曲。實際上，曲率可以從度規張量算出，因此，（4-1）左邊的R是度規的函式。求解引力場方程的

目的

也就是解出度規。

從愛因斯坦方程的弱場近似可以得到牛頓引力定律。考慮最簡單的情況，場方程中只有與時間維（指標0）有關的那一項，比如說，曲率張量只有R

00

一項，能量動量張量只有普通物質（質量密度為r），這時候，場方程化簡為：R

00

= 4pr。這兒的R

00

可以進一步用牛頓理論中的引力勢函式表示，從而得到牛頓的引力公式。

引力場方程（4-1）的解是用以描述時空幾何性質的度規張量。度規就像是度量空間的一把尺子，還加上測定時間的“鍾”。或者可以把它想象成解析幾何中的座標，這也就是為什麼我們在解釋時空彎曲時經常用類似座標的“網格”來比喻的原因之一。因為所謂時空彎曲了，就是度規張量扭曲了，或座標格子變形了，如圖4-3-2右圖所示。

圖4-3-2：度規張量

從圖4-3-2中很容易看出，度規張量告訴我們如何計算“時空”中的弧長，嚴格地說，是弧長的微分ds。這點使

用歐幾里

德平直時空中的直角座標系很容易辦到，因為根據勾股定理，弧長ds就是直角三角形的斜邊，它的平方就等於直角座標系座標微分的平方和，如圖4-3-2中左圖所示。但是，如果對於像球面那樣的彎曲空間，弧長微分ds的計算就要複雜一些了，因為球面的度規表示式也變得複雜了。

另外，廣義相對論中考慮的是“時空”的弧長ds，它表示的已經不僅僅是空間中的“距離”概念，四維時空中的時間和空間可以分別用實數和虛數表示。如果採取時間為實數的表示方式，這時候的“弧長”被稱為“固有時”，通常不將它寫成ds，而被記作dt。

在一定的簡化情形下，四維時空的弧長微分dt與空間度規張量g

ij

的關係可表示如下：

（摘自《永恆的誘惑：宇宙之謎》，作者：張天蓉）