#數學分析# 第三講 數集的確界

確界原理是什麼

確界原理本質上體現了實數的完備性。

記號與術語

U（a；δ）={x| |x-a|<δ} 點a的δ鄰域：以a為中心，δ為半徑的開區間。

U0（a；δ）={x| 0<|x-a|<δ} 點a的δ空心鄰域：以a為中心，δ為半徑的開區間，除去了點a。

U+（a；δ）={x| 0<=x-a<δ} 點a的δ右鄰域：從a到a+δ。

U-（a；δ）={x| 0<=a-x<δ} 點a的δ左鄰域：從a-δ到a。

U（∞；M）={x| |x|>M} ∞的M鄰域：以0為中心，M位半徑的閉區間的外部領域。

U（+∞；M）={x| x>M} +∞的M鄰域。

U（-∞；M）={x| x<-M} -∞的M鄰域。

max S：數集S的最大值。

min S：數集S的最小值。

有界集：

定義1，

設S是R的一個子集，S不等於空集：

（1）若∃M∈R，使得∀x∈S，x<=M，則稱M為S的一個上界，稱S為有上界的數集。

（2）若∃L∈R，使得∀x∈S，x>=L，則稱L為S的一個下界，稱S為有下界的數集。

（3）若S既有上界又有下界，則稱S為有界集。

其充要條件為：∃M>0，使∀x∈S，|x|<=M。

（1‘）若S不是有上界的數集，則稱S無上界。

即，∀M∈R，∃x0∈S，x0>M。

（2’）若S不是有下界的數集，則稱S無下界。

即，∀L∈R，∃x0∈S，x0

（3‘）若S不是有界的數集，則稱S為無界集。

即，∀M>0，∃x0∈S，使得|x0|>M。

確界：

若數集S有上界，則必有無窮多個上界，而其中最小的一個（如果有）具有重要的作用，稱為上確界。

同樣，若S有下界，最大的下界（如果有）稱為下確界。

定義2，

設S是R的一個子集，S不是空集，若η∈R滿足：

（i）∀x∈S，x<=η；（ii）∀a<η，∃x0∈S，使得x0>a，

則稱η是S的上確界，記作 η=supS。

注1 條件（i）說明η是S的一個上界；（ii）說明比η小的數都不是S的上界；

從而說明η是最小的上界，即上確界是最小的上界。

注2條件（ii）可換成：∀ε>0，∃x0∈S，x0>η-ε。

定義3，

設S是R的一個子集，S不是空集，若ξ∈R滿足：

（i）∀x∈S，x>=ξ；（ii）∀b>ξ，∃x0∈S，使得x0

則稱ξ是S的下確界，記作 ξ=infS。

注3下確界就是最大的下屆。

注3下確界定義中的（ii）可換成：∀ε>0，∃x0∈S，x0<ξ+ε。