【週末特刊】正著切，反著切，不亦樂乎！數學裡的切是怎麼回事

弧的讀音是什麼

智慧建造房屋，鑿成七根柱子。—— 箴言9:1

切！切！切！

郝潘苾在牛排上大動干戈。正著切，反著切，不亦樂乎！不由恍惚……

與現實中的“切”相比，數學裡的“切”算怎麼一回事呢？

只能算“直線”對“圓”的輕輕一吻——圓”並沒有分離成兩部分。

現實中“切”與“割”動作相似，數學裡“切”只是蜻蜓點水般的接觸、“割”才能將圓分成兩半。

正切：圓心角（用 α 代表）正對著的切線 DB 與半徑 OB 之比。

餘切與正切的關係不同於餘弦與正弦，餘弦是正弦的平移，餘切卻是正切的倒數，是半徑 OB 與切線 DB 之比。

把餘切叫做反切更合適吧！數學家真是懶到家了，名字都是一個模子出來的。

正割是正弦的倒數，不好叫反正弦，見它用到了割線，就賤賤地給了個“正割”這樣的名字。

餘割是餘弦的倒數，不好叫反餘弦，就管它叫“餘割”了。“餘割”——“餘哥”——被喊“哥”的時候要小心。

“聞絃歌而知雅意”，弦不離歌，正弦 sin 起來（“sing”唱）。單詞 sine 的讀音是“賽恩”，一個人關起門來唱多沒意思，要唱就要到什麼好聲音上去賽一賽，看看誰得到的上天的恩賜多些。

餘弦 cos，單詞 cosine，讀音“call 賽恩”，因為有餘閒，所以 call 正弦作伴。

正切 tan，單詞 tangent，讀音“天恩”，直線能跟圓吻上，這真是天大的恩賜，肯定“躺”贏啊！

想到這，郝潘苾自己都樂了！都胡思亂想什麼啊！

想起來了，測量山的高度用的就是正切。要用正弦、餘弦那也不合適。怎麼說直角邊的距離差也比斜邊的距離差容易測量多了。就三個邊，要求山的高度——縱邊，斜邊不合適，那不就得用橫邊嗎？

正切函式的影象與正餘弦差太多了吧！還是正餘弦好看。

正切函式 y=tanx，x 代表圓心角。△OCA∽△ODB，DB：OB=CA：OA，線段 CA 用 b 代表，線段 OA 用 a 代表，tanx=b/a。

OC 由與 OB 重合的地方開始逆時針運動時，x 從 0 開始不斷增大。

一開始，OC 與 OB 重合，這時，x=0°（0），b=0，tan0=0/a=0。

當 OC 逆時針運動到圓心角 x=45°（π/4）的時候，a=b，tan（π/4）=1。

當 OC 逆時針運動到與縱軸 y 重合的時候，x=90°（π/2），a=0，b/0 無意義，此時正切無值。

OC 繼續逆時針運動，隨著 x 不斷增大，b 值不斷減小，但是還是正的，但此時 a 值卻是負的了。到圓心角 x=135°（3π/4）時，a=-b，tan（3π/4）=-1。

這正是座標系中的圖形與歐幾里得幾何學中的圖形最大的不同點：座標系中的線是有方向的線，長度是分正、負的長度。

現在，OC繼續逆時針運動，當 x=180°（π）時，再次，b=0，tanπ=0。

OC 逆時針運動在 180°（π）＜x＜270°（3π/2）區間時，a 和 b 都小於 0，負負相除得正，所以表現同於 0°（0）＜x＜90°（π/2）區間。

同樣，OC 逆時針運動在 270°（3π/2）＜x＜360°（2π）區間時，a>0、b<0，正負相除得負，所以表現同於 90°（π/2）＜x＜180°（π）區間。

x=270°（3π/2）時的情況與 x=90°（π/2）時是一樣的，x=360°（2π）時的情況跟 x=0°（0）時是一樣的。

看得出來，正切函式的（最小正）週期是 π。

正切函式關於原點對稱，是奇函式。

正切函式在 （-3π/2， -π/2）、（-π/2， π/2）、（π/2， 3π/2）、……區間上是單調遞增函式。也就是說，正切函式在區間 （-π/2±kπ， π/2±kπ） 上是單調遞增函式。

直角三角形三邊糾纏在一起，三角函式作為三邊之比是否也有糾纏呢？郝潘苾想。

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