費馬小定理與中國猜想，費馬沒證明，尤拉很失望！

素數就是除了1和自己別的數都不能整除的數。素數之所以讓人著迷，不僅在於數論領域人們至今尚未找到生成所有素數的終極公式，也有這黎曼猜想這種價值連城的問題。在日常生活中素數也是加密演算法的基石，高考試卷中的常客，這篇文章要說的就是數論四大定理之一的費馬小定理和衍生出來的中國猜想。

說起費馬大家都不陌生，他和另一個天才拉馬努金一樣是出了名的愛給結論不給證明的牛人。比如那個困擾學界數百年的費馬大定理。在1640年他和友人的一封信首次提到一個定理：如果數字a不是素數p的倍數，那麼必有a的（p-1）次方=1（modp）。為了與大定理區別這定理被後人稱為費馬小定理。作為業餘數學家之王的費馬沒有給出任何證明。

由於p是一個素數，那麼{1，2，3……。。，p-1}組成的集合1中的所有元素皆與p互質，用a與集合1中的元素相乘並取模等到了一個新的集合{amodp，2amodp，……，（p-1）modp}集合2。不難看出集合2的所有元素都比p小，而且集合2是亂序的集合1。那麼對於任意的集合1，集合2是否是他的亂序？如果集合2不是集合1的亂序，由於集合2的元素都小於p，則集合2中必有元素相等，不妨令集合2的i與j元素相等，那麼i*amodp=j*amodp，即i*a=j*a（modp），整理得（i-j）*a=0（modp），即此式為*式，也就是說（i-j）與a中至少有一個能被p整除，但前提知道a不是素數p的倍數，有因為i-j小於p兩者都不能被p整除，所以*式不成立，即集合2是集合1的亂序。那麼集合1所有元素求積，也就等於對集合2所有的元素求積，即公式（1*2*……。*p-1）=（amodp）（2amodp）……（p-1amodp）整理得a的（p-1）次方=1（modp），費馬小定理證明完畢。

費馬小定理的逆命題更有趣，也就是a的（p-1）次方=1（modp）成立時p為素數，這個逆命題就是中國猜想。晚晴時期的數學家李善蘭和同僚書信中就曾提到過這個猜想。1882年另一位數學家華蘅芳在他的書中提到了這個猜想。後來這個故事傳到了西方就變成了在先秦時期中國人提出了這個猜想，在西方學界中國猜想就此傳播開來。中國猜想有名的另一個原因就是如果成立我們就找到了一個製造素數的方法。但很遺憾中國猜想並不成立。與李善蘭同一時期的法國數學家發現，有些數滿足素數方程但卻不是素數，這些數被稱為偽素數。

自2000年前歐幾里得在幾何原本中證明了素數的無窮性，幾千年來素數都是純數學領域中耀眼的寶石。他之所以讓人著迷，不僅在於他優美的形式，與在於人類尚未研究出他的規律。別說終極的素數公式，我們甚至對他的分佈也沒有全然認清，以至於讓天才的尤拉都感慨道：“素數的計算公式在我們這輩子都可能找不到了！”