導數壓軸不壓導數，2020年江蘇導數第19題解析

2020年是江蘇省數學自主命題的最後一年，2021年江蘇會使用全國卷，其中利弊不再分析，反正對江蘇考生來說有點像黑帶選手打一個白黃帶選手，至少會讓你們輕鬆很多。

在說導數之前，選擇第13題是一個不錯的題目，難度不算大，考查平面向量的基本運算，方法不止一種，這裡結合等和線來說一下。

題目中求CD的長，且知道AP的長，若能知道AD的長即可利用解三角形求出CD，條件中用PB向量和PC向量表示出了PA向量，且向量前面的係數之和為定值，因此可設出AD和PD之間的比例關係即可。

在等和線中，PB和PC向量的係數之和其實就等於PA的長度與PD長度的比值，知道這個很容易確定出AD的長度，有關等和線思想常用於求解向量係數的最值問題，複習等和線可參考連結：思維訓練33。並不神奇的向量等和線

江蘇的導數題目不像其他試卷中考查具體的某種題型，在題目中向量的功能就是用來判斷函式單調性求最值，就是一個工具而已，本題目的難點在於對題目思想的分析，也許未來全國卷的導數題目也會向著這個方向發展。

前兩問很簡單，函式都不難，很容易想到用切線的思想去處理，在第三問中f（x）出現了四次，g（x）為常見的二次函式，h（x）為一次函式，題目就是兩個恆成立的問題，若先證f（x）-h（x）≥0，會發現函式次數過高，求導不能判斷單調性，而h（x）-g（x）就簡單很多了，題目中給出的t的範圍不一定都能保證f（x）≥h（x）成立，能不能在先確保f（x）≥h（x）恆成立的前提下縮小t的範圍？

考慮到第一第二問都用了切線思想，先確定一下f（x）在x=t處的切線方程：

f（x）的單調性和極值很容易判斷，可知f（x）在x=-1和x=1處取得極小值，那麼根據影象可知，若要保證f（x）≥h（x），則t的位置一定在1的右側或-1的左側或者t=1，即|t|≥1，如下圖所示，結合條件中t的範圍可知1≤|t|≤√2，接下來在這個範圍內證明h（x）≥g（x）恆成立。

上述由h（x）-g（x）≥0可得關於x的開口朝上的二次不等式，且不等式在［m，n］上恆成立，因此先要保證二次函式有根，設出兩根後可知m到n的距離小於等於兩根之間的距離，因為兩根之間的距離可用判別式和二次項的係數來表示，因此只要求出判別式的取值範圍即可，另外m（x）為偶函式，定義域只需要取正數的部分即可。

第3問整體的影象

總的來說這個題目的前兩問給出瞭解決第三問的思路，題目中既有引數又有定義域的兩個未知端點值，解題來看似挺複雜的，其實如果單從h（x）≥g（x）來看，就是一個二次函式在給定區間內恆成立的問題，n-m的最大值即為二次函式兩個根之間的距離，即可用判別式來表示出根據，判別式是一個關於t的函式，求出t的範圍即可用導數求最值，因此f（x）≥h（x）的目的只是用來確定t的範圍而已，題目比那種常規的套路型導數題目好很多。