學習之道：從七十二變到如來神掌(1)

如來神掌怎麼練

為什麼有火眼金睛善使如意金箍棒能翻筋斗雲會七十二變的孫悟空，卻逃不出如來佛的五指山？其中大有深意，學者不可不察。本文從西遊記給我們的啟示出發探討數學學習的根本之道。

學習之道：從七十二變到如來神掌

《西遊記》被稱為古今奇書，義理深廣，融儒佛道於一體，各家各派都可以從中解讀出甚深寓義。

其中神通廣大的孫悟空被如來佛一掌輕易制服這一情節說明了什麼樣的道理？

儒家《大學》有云：物有本末，事有終始，知所先後，則近道矣。又云：知止而後有定，定而後能靜，靜而後能安，安而後能慮，慮而後能得。其義：知止，止就是目標，即知道止於何處，當止在根本之處，止在終點之處。

根本與終點在哪裡呢？可稱之為“道”。

“道”又為何？“道”不可言說，只能勉強說之：道生一，一生二，二生三，三生萬物（《道德經》）。

學者如何求道？與道生萬物是相反的過程，人從認識萬物開始，從萬物中感悟提煉出三、二、一，再到道。

所以老子又云：為學日益，為道日損。

為學是認識分析萬事萬物的過程，是學知識、學技術，越學越繁多，處在發展變化的過程；為道是融合統馭萬事萬物的過程，是求真理、求合一，越求越簡單，達到不變應萬變的境界。當代的很多大科學家也想要尋求所有理論的大一統，愛因斯坦就夢想把物理學的四種場力統一而未能如願。

術與道是相輔相成的，以術求道，以道馭術。求術不求道必致於迷，求道不求術必流於空。

再看孫悟空與如來佛，孫悟空的金箍棒招式萬千，還會騰雲駕霧七十二變，可見他還處在“為學”的階段，追求變化多端；而如來佛不管遇到什麼妖魔，從不需要變化，以“如來神掌”一出手即可降伏，他不是不會變化，而是掌握了一切變化，到了以不變應萬變的“成道”階段。孫悟空雖然掌握了七十二變，但九九八十一才是最大的數，說明孫悟空的變化還未到極致，所以還要經歷九九八十一難才能功行圓滿成就大道。孫悟空未成道前，他是自我膨脹的，他以為他掌握了七十二變很了不起，闖龍宮、鬧地府、鬥天庭，折騰不休。知止而後有定，這時他還不知“止”，就是不瞭解“道”，心是不定的，所以玉帝為齊天大聖府設了“安靜”、“寧神”二司，意為安定其心神。有趣的是，現實當中，正是半吊子的學者才會自視甚高目空一切，真正瞭解真理的人是很謙虛的。當孫悟空成佛之時，頭上的緊箍自然消失，寓意禁錮是因自己的成長而解除，自由是因自己的成長而實現，而非他力所致。

由此，我們可以理解西遊記的真意是：帶著向道之心在實踐當中不斷學習磨鍊，在瞭解千變萬化的事物之後，融會貫通合而為一，最終到達真理的彼岸，實現自我的自由。

學習任何學科也是一樣的道理，透過學習多種知識技能提煉思想方法，再把各類思想方法融會貫通歸而為一，最終達到收發隨心運用自如的境界。

著有《為不教而教》的教育專家周長生老先生總結教育哲學九字訣：找共性、證共性、用共性。共性也在不斷髮展拓寬，從區域性共性到整體共性、再到更大整體的共性。認識過程是從一個事物到一類事物再到一切事物，把“一個”歸結到“一類”，再把“一類”不斷擴充套件，向“一切”靠近。

同學們平時學習知識技能就是在苦練“七十二變”，做作業做練習就是在經歷“八十一難”，複習整理總結歸納就是練“如來神掌”，學業有成考試成功就是“得真經成正果”。豬八戒為什麼成不了佛？因為他只會“三十六變”，掌握的變化還不多，量變足夠才能引起質變，還因為他怕吃苦，每當受難之時就要打退堂鼓。

初三的同學們，你們已經苦練了“七二十變”，經歷了“八十一難”，在複習階段就要整合各種招式套路來融煉“如來神掌”。“如來神掌”不是新招式，而是包含融合“七十二變”的所有變化，站在統領全域性的高度達到靈活運用揮灑自如的境界。

我們可以用“變換構造”四個字概括數學解題的總方法，即把問題用各種變換方式進行轉化，最終構造成合適的數學模型以解決問題。這四字可以作為數學解題的“如來神掌”。

“變換構造”就是把自然語言變換為數學語言，把數學關係變換為數學模型。

那麼，變換構造的統領性策略有哪些？

可以總述為八字訣“

加、減、進、退、合、分、動、靜

”。

下面我們以例項一試牛刀，看此“如來神掌”級功法是否有用。

先介紹下“加”與“減”：加，即把問題的相關元素增加，補充，使之轉化成已知模型，如證明三角形內角和時，透過新增平行線轉化為平行線模型得以解決。減，即減少、化簡，如解多元方程組或高次方程時，要透過消元、降次把元的個數和次數不斷地減少，直至轉化成一元一次方程，解一元一次方程也是把項數不斷減少，係數不斷減小，直至變為x=m的形式。

例1。（2017常州卷第8題）如圖，已知□ABCD的四個內角的平分線分別相交於點E、F、G、H，連線AC，若EF=2，FG=GC=5，則AC的長是（ ）。

分析：求AC，但AC不在直角三角形中，新增輔助線構造直角三角形即可。

例2。（2017鹽城卷26題）

如圖①，是一張直角三角形紙片，∠B=60°，小明想從中剪出一個以∠B為內角且面積最大的矩形，經過多次操作發現，當沿著中位線DE、EF剪下時，所得的矩形的面積最大，隨後，他透過證明驗證了其正確性，並得出：矩形的最大面積與原三角形面積的比值為_____。

拓展應用

如圖②，在ΔABC中，BC=a，BC邊上的高AD=h，矩形PQMN的頂點P、N分別在邊AB、AC上，頂點Q、M在邊BC上，則矩形PQMN面積的最大值為_____。（用含a，h的代數式表示）

靈活應用

如圖③，有一塊“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明從中剪出了一個面積最大的矩形（∠B為所剪出矩形的內角），求該矩形的面積為。

實際應用

如圖④，現有一塊四邊形的木板餘料ABCD，經測量AB＝50，BC＝108，CD＝60，且tanB=tanC=4/3，木匠徐師傅從這塊餘料中裁出了頂點M、N在邊BC上且面積最大的矩形PQMN，求該矩形的面積。

分析：本題用一個“加”字訣足可解決。

如下圖，兩個圖①相加即得圖②：

如下圖，圖③可以補充成圖①：

如下圖，圖④可以補充成圖②：

構造完成，後面的問題直接應用前面的結論，題目不難得解。

小結：例1、例2主要用“加”字訣，解題關鍵在於把圖形新增補充完整，使之轉化為已解決的圖形，直接應用已知結論解題。

例3。（2017寧波卷12題）一個大矩形按如圖方式分割成九個小矩形，且只有標號為①和②的兩個小矩形為正方形．在滿足條件的所有分割中，若知道九個小矩形中n個小矩形的周長，就一定能算出這個在大矩形的面積，則n的最小值是（ ）

A、3 B、4 C、5 D、6

分析：如下圖，把圖中的數量簡化，九小矩形有4個不同邊長，把問題轉化為只要能確定a+b+c及b+c+d的值就能算出大矩形面積。這樣把a+b+c與b+c+d分為a+b、b+d、c三組即知道三個小矩形周長即可。設a+b=m，b+d=p，c=q，則可知a+b+c=m+p，b+d+c=q+p，得大矩形面積為（m+p）（q+p）。

例4。（2017南通卷18題）如圖，四邊形OABC是平行四邊形，點C在x軸上，反比例函式y=k/x（x＞0）的圖象經過點A（5，12），且與邊BC交於點D．若AB=BD，則點D的座標為

．

分析：本題常用方法是根據函式關係和幾何關係建立方程求圖象上的點座標，關鍵是如何設未知數使解題過程更簡潔高效，顯然，一是未知數的個數要儘量少，二是儘量用整式和整數參加運算。如下圖利用相似三角形的比例關係設邊長，可以簡單快捷地解決問題。

例5。（2017年泰州卷26題）

平面直角座標系xOy中，點A、B的橫座標分別為a、a+2，二次函式y=-x2+（m﹣2）x+2m的圖象經過點A、B，且a、m滿足2a﹣m=d（d為常數）．

（1）若一次函式y1=kx+b的圖象經過A、B兩點．

①當a=1、d=﹣1時，求k的值；

②若y1隨x的增大而減小，求d的取值範圍；

（2）當d=﹣4且a≠﹣2、a≠﹣4時，判斷直線AB與x軸的位置關係，並說明理由；

（3）點A、B的位置隨著a的變化而變化，設點A、B運動的路線與y軸分別相交於點C、D，線段CD的長度會發生變化嗎？如果不變，求出CD的長；如果變化，請說明理由．

分析：本題網上解析多數較繁瑣，且錯誤較多，我們要探求最簡潔最容易理解的解法。

問題（1）①略。

問題（1）②：通常我們想到增減性是當x1

問題（2）同樣可以根據A、B點到對稱軸的距離判斷AB與x軸的關係。

問題（3）：首先要確定A、B點運動路徑。點在座標系中的運動路徑由該點縱座標與橫座標的函式關係決定，因此問題轉化為點A、B的縱座標與橫座標的函式表示式。

小結：例3、例4、例5主要用“減”字訣，關鍵在於把問題簡化，如例3是把多個數量簡化為4個長度，例4把巧設未知數靈活運用數量關係把解題過程和計算簡化，例5把數量關係式化簡為只含所求變數及常量的表示式。