數學經典揭秘：證明萊布尼茲級數最美妙的一種數學方法

重根怎麼判斷是幾重根

萊布尼茲級數同沃利斯級數一樣是高等數學中的重要級數，證明它的方法一般都是採用反正切函式的級數形式快速得到，或者用傅立葉級數也可以證明，

本篇我們採用一種純代數方程的形式來證明萊布尼茲級數

首先，來考察如下一個很簡單的方程，它的根有

這裡有一點你要注意到：這些根每一個都是重根，為什麼呢？

曲線y=sinx與直線y=1在橫座標上是不相交的，而是與它相切，對於這些x值，左邊的導數變為0，但它的二階導數不為0 ，這很顯然說明了這些根就是方程1-sinx=0的重根

因此方程：

我們根據一元高次方程根的公式：

可將其分解為線性因子

比較兩邊x的係數：我們得到

這就是著名的萊布尼茲級數。