如何用數學描述琴絃振動現象，尤拉、伯努利爆發了長達10年的論戰

在自然世界中，存在著許多的波動現象，它是一種常見的物質運動形式，如聲波、水波等，後來物理學家對此類現象經過歸納總結，把某一物理量的擾動或振動在空間逐點傳遞時形成的運動形式都稱之為波動。

各種形式的波的共同特徵是具有周期性。所以數學家希望可以用數學方法詮釋自然界中的各種波動現象，其中，最為知名的，就是尤拉、伯努利以及達朗貝爾等人對於樂器中弦振動問題的爭論，今天我們就來了解一下數學中的弦振動問題。

弦振動問題的研究由來已久，當時歐洲數學家在欣賞小提琴演奏時發現，小提琴演奏者用弓在琴絃上來回拉動，弓所接觸的只是弦的很小一段，按照常理來說，應該只是會引起這一小段弦的振動，但實際上，振動總是會傳播到整根弦。

數學家在發現了這種現象之後，就希望能夠用數學方法研究這種弦振動傳播現象。但是一開始數學家並不知道應該用什麼樣的方程式去表達這樣的弦振動現象。以至於後來引發了數學家之間的爭執。

弦振動問題爭論的由來

17世紀的時候，牛頓和萊布尼茨分別獨立地提出了微積分，隨著微積分的發展，微分方程慢慢開始成為數學裡的一個重要的分支。

微分方程就是聯絡著自變數，未知函式以及其導數的關係式，一般地，客觀世界的事件的聯絡是服從一定的客觀規律的，而這種聯絡，用數學語言表述出來，即抽象為微分方程，一旦求出其解或研究清楚其動力學行為，變數之間的規律就目瞭然了。

隨著微分方程的發展，數學家開始嘗試用微分方程去表達弦振動問題，即把弦細細地分成若干個極小極小的小段， 每一小段抽象地看作是一個質點， 使得弦被當成“小珠的弦” 即弦被看成由咒個離散的、相等的和等間隔的、彼此間用沒有重量的柔軟的彈性繩相連線的重物構成。

為了處理連續的弦，重物的數目允許變成無窮多個， 同時每一個的大小和質量都減小， 使得當“珠子” 個數增加時總質量趨近連續絃的質量。那就可以用微積分的方法來分析解決了。

如約翰·伯努利在1727年的一篇關於弦振動問題的論文中，約翰就考慮假設一根無重量的彈性弦，在弦上等間隔地放置著n個等質量的質點，當放置6個質點時，就可以得到弦的簡諧振動方程：

約翰的簡諧振動方程證明了在任何時刻弦的形狀必定是正弦曲線，後來尤拉、達朗貝爾、約翰的兒子丹尼爾都匯出了不同形式的弦振動微分方程。

但這只是理想化的弦振動形態，因為一根琴絃不可能沒有重量，也不可能沒有彈性。所以後來數學家開始考慮把引起彈性振動的慣性力考慮進去。

因為不同琴絃的彈力是並不相同的，即使相同的琴絃在不同的情況下彈力也不盡相同，所以數學家就得出了各種情況下的波動方程。

尤拉和達朗貝爾就沿用之間的思維，用微分方程來表示弦振動的波動方程。但是丹尼爾卻以完全不同的形式即用函式的級數展開式給出弦振動問題的解，級數是指將數列的項依次用加號連線起來的函式，級數是研究函式的一個重要工具，在理論上和實際應用中都處於重要地位。

運用數學方法的不同，導致了丹尼爾、尤拉與達朗貝爾之間的關於弦振動可允許的解的爭論，後來拉格朗日、拉普拉斯等也參加了這種爭論。

這就是弦振動問題爭論的由來。

弦振動問題的爭論過程

1733年，丹尼爾在自己的研究論文中明確地提出了振動的弦能有較高的振動模式，後來在1741年到1743年之間的多篇論文裡，丹尼爾都闡述了自己的“簡單振動（基音）和疊合振動（高次諧音）可以同時存在”觀點，但只是從物理角度提出，卻又並沒有從數學上加以描述。

到了1753年，丹尼爾再次重申了“振動弦的許多模式（簡單的和疊加的）能夠同時存在”的觀點，他認為這個振動是第一基音、第二諧音、第三諧音……的一切可能的簡諧振動的一個疊合。

微距下振動的琴絃

丹尼爾試圖透過將弦振動中全部可能的初始曲線能表示成為正弦級數來進行描述。他認為：任何複雜的振動都可以分解成一系列諧振動之和。 這一事實用數學語言來描述即為：

丹尼爾的這個觀點是非常重要的，因為他首次提出了將問題的解表示為三角級數的形式，這為將一個函式展為傅立葉級數的純數學問題奠定了物理基礎，促進了分析學的發展。

尤拉贊同丹尼爾的關於許多模式能夠同時存在，使得一個振動中的弦能發出許多諧音的觀點，但是又和達朗貝爾一起反對丹尼爾關於在弦振動中全部可能的初始曲線能表示成為正弦級數的主張。

1746年，達朗貝爾在他的論文《張緊的弦振動時形成的曲線的研究》中，提議證明無窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動的模式，他將偏導數的概念引進，作為對弦振動的數學描述。

這樣就由對弦振動的研究開創了偏微分方程這門學科，自此之後微分方程中未知函式是一元函式的，叫常微分方程；未知函式是多元函式的叫做偏微分方程。

而尤拉在讀完達朗貝爾的論文之後，對達朗貝爾的結論又並不認同，他認為弦可以拉動，使得其起始形狀在不同的區間上可以由不同的解析表示式所描述。也就是說，尤拉認為他的初始函式在不同的區間可以有著不同的解析表示式。

尤拉稱此種函式為不連續函式，用通俗的話講就是，雖然是連續函式，但在相接的地方卻是不可以微分的。

尤拉在他的1749年的基本論文中指出：振動弦的一切可能的運動， 無論弦的形狀怎樣， 關於時間都是週期的，也就是說，該週期是我們現在所謂的基本週期。 他也認識到週期為基本週期的一半、 三分之一等等的單個的模式能夠作為振動的影象出現。

所以在尤拉的不連續函式的觀念下，他自然不會認同丹尼爾的主張，他認為他自己的振動弦的解包括了所有可能的函式，特別是他所謂的不連續函式，連續的正弦函式怎麼可能疊加產生不連續函式，另外一方面，正弦函式是奇函式，因此，顯然無法產生所有的任意函式，特別是如果起始曲線有一部份是靜止的。但是，尤拉倒是願意承認丹尼爾的解是他的解的一部份。

丹尼爾對於尤拉的主張也提出了反駁，丹尼爾認為：既然有無窮多個 an 可供選擇，因此：每一個函式當然均可用一三角級數表出，自然而然，它的解所涵蓋的範圍比尤拉廣。

丹尼爾的這種非數學方式的論爭，當然是無法使人信服，所以後來丹尼爾也認識到了這個問題。

丹尼爾·伯努利

三個人之間各執一詞，相互爭論了十幾年，後來拉格朗日以及拉普拉斯也加入了爭論，拉格朗日其實在很多事情上重複了尤拉他們的工工作，他也否認三角級數能夠示任一解析函式， 更不用說更加任意的函數了。

概括而言，丹尼爾認為可以透過正弦級數來進行描述弦振動；達朗貝爾想透過偏微分方程的方式解決弦振動問題；而尤拉則提出了不連續函式的概念。

其實他們之間的觀念並非全都正確，但是也並沒有完全錯誤，歸結而來，其實就是用三角級數來表示一個任意函式這一重要問題，而這個問題的解決則是傅立葉來完成的。

弦振動問題爭論的結束

終結這個問題的是另外一位大數學家傅立葉，傅立葉是一位數學家，但是他特別痴迷於熱學，熱學是研究物質處於熱狀態時的有關性質和規律的物理學分支，1811年，傅立葉向科學院自己的文章《熱的傳播》，在論文中推匯出著名的熱傳導方程 ，他在其中運用到的三角級數也就是後來著名的傅立葉級數。

傅立葉提出的傅立葉級數與拉格朗日的觀點相違背，傅立葉認為不論定義在（π、π）上的函式 f（x） 是如何任意，它一定可以用一個無窮三角級數表示出來。這與拉格朗日在處理弦振動問題時候否定三角級數的觀點相矛盾， 所以拉格朗日認為傅立葉的研究並不嚴謹。

後來，傅立葉經過多年的努力，在1822年提交了著名的《熱的解析理論》，它標誌著傅立葉級數和傅立葉積分的證實誕生。

傅立葉在這篇文章中正式提出，任何週期函式都可以用正弦函式和餘弦函式構成的無窮級數來表示（選擇正弦函式與餘弦函式作為基函式是因為它們是正交的）。

傅立葉級數的提出從根本上動搖了舊的關於函式概念的傳統思想，1837年，狄利克雷給出了與我們現在所熟知的函式定義非常相近的函式的如下定義（區間一般是指兩個實數之間的所有實數）：

如果對於給定區間上的每一個x值，都有唯一的y值與它對應,那麼y是x的函式。

可以說傅立葉級數的提出和新函式概念的提出，徹底解決了弦振動問題，只要是自然界的週期運動現象，都可以透過傅立葉級數來表示。簡單來說，把一個週期運動分解為簡諧振動的迭加，反映在數學上，是把一個週期函式f（t）表示為各類正弦函式的迭加。

傅立葉級數

傅立葉函式提出來以後，再回頭來看三人的爭論，達朗貝爾、丹尼爾與尤拉之間的爭論問題的實質在於能夠用正弦函式、或更進一步地，用傅立葉級數表示函式類的寬窄。他們都只是觸及了這個問題的某一方面。

弦振動問題的解決也說明了數學家對於函式的進一步完善以及函式概念的進一步規範，促進了數學的大發展。

而尤拉、伯努利、達朗貝爾等人對於弦振動問題的探討，最終促成了處理數學物理問題的有力工具和具有普遍意義的方法——傅立葉級數的誕生， 從而開創傅立葉分析這一近代數學的重要分支。在十九至二十世紀的基礎數學研究領域佔了極其重要的地位， 同時也為現代訊號分析奠定了基礎。

傅立葉

進入 20 世紀以後， 這傅立葉級數更成為全世界數學家， 物理學家以及工程師之間的通用語言，它的巨大潛力和應用價值可見一斑。

在思考中提高自己的學問，在探討中迸發新的花火，在爭論中催生新的思想，在辯駁中完善自己的理論，這就是科學家之間論戰的意義。