柯西是怎樣給微積分注入嚴密性的？

數學被譽為人類智慧的結晶。微積分被譽為人類智力的偉大結晶。

縱觀整個微積分發展史，基本上都是在西方發展起來的，先由牛頓和萊布尼茨建立，後由柯西注入嚴密性後才使微積分得以逐步發展起來，再後來的發展不過是不斷完善，已經不足為談。

但微積分的建立初期也和許多新發明創造一樣，並不是很完善，受到過許多質疑，時常被指“模糊不清”或“缺乏根據”，從而引發了一場曠世持久的大討論，但也正是這場波瀾壯闊的大討論成就了微積分。我認為這當中有許多值得我們思考的地方，故特撰本文，希望也能引發你的一些思考。

在西方的數學發展史上，早在兩千多年前，畢達哥拉斯學派就提出了“論證才是可靠”的主張，從那時起，證明就已經在人們心中深深紮下了根，許多數學家畢生都是為了證明什麼而活著，並視證明為一種榮耀，在這樣的學術氛圍下催生了包括數學在內的一大批科學成果。

到了17世紀下半葉，牛頓和萊布尼茨先後獨立發現了微積分，一經面世當即引起整個數學界轟動，但由於不夠嚴謹和還存在著一些漏洞，所以引來許多質疑甚至批評攻擊，其中以什麼是“無窮小”、“無窮大”的爭議最為熱烈。

那是因為在微積分的建立初期，牛頓往往認為“無窮小”因為實在太小，小到可以忽略不計的程度，所以常常採取“令等於零”或“令其消逝”的辦法來處理，但“無窮小”只要有個量的存在，那麼無數個小量相加就會得到一個很大的量，所以被指不夠嚴謹，經過一番爭論後，甚至連牛頓自己也承認“在數學中，最微小的誤差也是不能忽略的。”

由於當時牛頓的名氣已經很大，所以很多質疑都指向他。另外還因為牛頓把“時間看作是連續的流動和增長，而其它量則隨著時間而連續增長”，和提出“瞬0”概念，從而引起許多人圍繞著早已存在的芝諾“飛矢不動悖論”提出質疑；質疑認為既然速度離不開時間區間，那根本就不可能有時間為零的瞬時速度，所以批評牛頓的微積分方法不能解決芝諾的“飛矢不動悖論”問題。

經過一段長時間的爭論之後，最終這場曠世持久的大討論的焦點落到了什麼“無窮小”上，因為很明顯，“無窮小”即使再小，它也是個量，不可能是零。基於數學的嚴謹性，數學是不能建立在不穩定的基礎之上的，並且嚴謹的數學證明裡不允許有約等於（≈）的存在，所以必須解決這個問題、堵住這個邏輯漏洞。

為了解決“無窮小”的問題，在接下來的逾百年時間裡，由17世紀到19世紀，無數哲學家、科學家、數學家為之展開了不懈的努力，猶如群星按力賽，期間留下過一道道智慧之光劃破時空，至今仍然光彩奪目。

在這場為了解決“無窮小”問題的大接力中，許多數學家都參與其中並貢獻了他們的智慧。

尤拉認為：“……只不過是不同的無窮小量的幾何比值的研究罷了。”換句話說，尤拉認為“無窮小”是個比值物件。

達朗貝爾認為：“一個量是另一個量的極限，假如第二個量能比任意給定的值更接近第一個量，無論這個給定的量是多麼小，不過作為逼近的量於任何時候都不能超過被接近的量。”

同樣的問題也困擾著伯努利家族，經過長時間的思想醞釀，約翰伯努利首次提出“變數”概念，並認為：“變數和常量是以任何方式構成的一種量。”以此定義“變數”函式關係，這正是現代微積分學的主要研究物件，在微積分學的發展中起到了核心作用，構建起了現代微積分學以無窮級數展開，當一個變數取值時，另一個變數與之對應形成函式關係，並且互逆。

再說同樣的問題也已經困擾柯西很久了。柯西是個愛好十分廣泛的數學家，從小就喜歡數學，酷愛思考，甚至還是孩子的時候，就被拉格朗日預言將來會是個了不起的人物。

而廣泛的涉獵造就了柯西的個性，也使他的思考方式往往有異於常人。19世紀20年代的某一天，柯西又一次陷入了沉思之中，他不得不放下手頭的工作，中斷了所有其它事情；他在想，無論如何將一件物體微分，總有一個量存在，“無窮小”是無法“達到”極限的，既然“無窮小”無法“達到”極限，那麼糾結於什麼是“無窮小”是沒有意義的，那麼問題究竟出在哪呢？彼時的他輕輕地呷了一口咖啡，合上眼睛，再次陷入了深度思考之中，忽然之間他感到腦海裡靈光一閃，他敏銳地覺察到核心問題是如何定義極限，“當一個變數相繼的值無限接近於一個固定值，最終與這個固定值之差要多小就有多小時，該值就可以稱 為所有其它值的極限”……

例如，以自然數表示事物次序時，最小的差是1，那麼0就是其它值的極限。就像十個手指頭，由1到10共十個，如果變通一下，則也可以說是由0到9共十個，最小的差也是1，那麼0就是其它值的極限。

柯西定義了極限之後，那麼相對比較就可以定義“無窮小”了，“當同一變數逐次所取的絕對值無限減小，以致比任何給定的還要小時，這個變數就成為了人們所稱的‘無窮小‘或‘無窮小量’”。

例如，當按自然數由0到9表示十個手指頭時，無論怎麼減，最小的差為1，則1就是相對於極限0的那個“無窮小”或“無窮小量”。

這等於柯西放棄了尋找“無窮小”的值，而是作為相對於極限的一個變數來看待，這個變數“要多小就有多小”。就像上面提到的按由0到9十個自然數表示十個手指頭時，任何變數的最小差是1，那麼1這可以被定義為“無窮小”或“無窮小量”。直白地說，柯西是將“無窮小”定義為一個“要多小就有多小”的變數，而不是一個固定的數值。

柯西正是用這種另闢蹊徑的方法，透過與極限相對定義了什麼叫做“無窮小”，這個跨越兩個世紀，困擾無數數學家的的“無窮小量”就這樣被柯西腦海裡閃過的一道智慧靈光馴服了。此時的柯西大喜過望，他將眼前的那杯咖啡仰頭一飲而盡，沉浸在自我喜悅之中……

後來，柯西愈戰愈勇，快馬加鞭，再接再厲，又將“無窮小量”歸入函式範疇，對後來的數學函式發展做出了不可磨滅的貢獻，他給函式下的新定義為：“（在“無窮小量”的定義下）當其中之一給定時，就能推知其它所有變數的值，則可認為這些變數由前一變數來表示，此變數取名為自變數，而其餘由自變量表示的變數，就是通常所說的該自變數的函式。”這基本就是現代微積分學的雛形，是以極限和變數為基本概念，當一個變數取值時，另一個變數與之對應，從而形成函式關係，並且互逆。

諸位，有關柯西和微積分的故事就講到這裡了，其實有關柯西和微積分的故事還有很多，但由於不在本文的討論之列，到此暫且按下不表。

值得一提的是柯西的一生在數學方面的成就非常之多，多到我們現在學的現代數學裡有很多概念和定理都是以他的名字命名的，可見他對數學貢獻之大；但柯西除了在數學上取得非凡成就之外，還有一點廣受後人稱道，那就是他十分願意發表他的論見，而不是藏著掖著生怕別人知道，他甚至在一段很長的時期裡，堅持每週在刊物上發表一篇他的論文，以致到了後來形成卷帙浩大的論著和取得豐碩成果。我們從柯西的故事裡不難看出他是個十分勤奮和願意分享成果的人。

如果將時光倒回到17世紀末至18世紀初的一段時期，在微積分的發展史上，還曾經發生過一段牛頓、萊布尼茨關於微積分發明權之爭的趣事；因為牛頓和萊布尼茨兩人發現微積分所用的方法不同，所以雙方“粉絲”為了證明己方的優越，都分別在報刊上提出過一系列的問題向對方發起挑戰，讓對方解答，一時盛況空前。

我之所以插入牛頓、萊布尼茨關於微積分發明權之爭的這段趣事，是想讓大家感受一下西方那個時期的學術氛圍是多麼熱烈，也許正是在這樣的氛圍才會催生出一大批科學成果。讀來讓人內心感到非常之震動。

而我們平時總是常說羅馬不是一天建成的，同樣，微積分的建立和發展也不是一朝一夕的事，以其說微積分由牛頓和萊布尼茨建立，後由柯西注入嚴密性才得以發展起來，不如說這三位都是集大成者。且不論牛頓和萊布尼茨集千年智慧之大成建立了微積分，且論柯西給微積分注入嚴密性的整個過程，期間處處都離不開群星的接力，只是柯西敏銳地把握住了那一瞬間的智慧火花，給微積分注入嚴密性，從此賦予了微積分新意義，後來的發展不過是在此基礎上的完善再完善、發揮再發揮，相比之下已經不足為談。

反觀我國擁有上下五千年文化，卻基本與微積分學的發展無緣，乃至我們現在學的數理化裡絕大多數公式、定理都是由西人發展起來的，所以我們現在在學數理化的時候，時常都會碰到許許多多西人的名字和許許多多的西方符號，無形中給我們的學習帶來了許多麻煩和障礙。這一切就留待讀者你去思考了，親愛的讀者？讀了本文，你會想到些什麼呢？

作者：然好

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