持續學習之：數學分析之數項級數

數項級數，這個理論實際上是數列極限理論的另一種表現形式。數列是一列數如a1，a2，a3。。。；數項級數是無限個數相加的問題如a1+a2+a3+。。。。+an+。。。。這些無限相加的問題是否有意義，怎麼判斷是否有意義，以及是否滿足通用的運算律，如加法交換律，乘法結合律等，這是數項級數要討論的問題。

第1節：數項級數的概念與性質：

數項級數或者稱無窮級數（簡稱級數）表示式：Σan = a1+a2+a3+。。。+an+。。。 ；其中an是通項

前n項和 sn=Σa1+a2+a3+。。。+an

如果由部分和組成的數列{sn}收斂於s，則級數Σan收斂，反之級數發散

約定lim sn=±∞ n->∞，稱發散到±∞

柯西收斂準則：說明了級數Σan收斂的充分必要條件

級數收斂的必要條件：通項->0，即 lim an = 0 n->∞

級數具有線性性質

定理：級數收斂，則在表示式中任意加括號，不影響收斂性

第2節：正項級數

正項級數：每一項都是正的，是同號級數的一種，另一種同號級數是負項級數

正項級數收斂判別法：充要條件：部分和數列{sn}有上界

正項級數收斂判別法：柯西積分判別法：f（x）在［1，∞）單調遞減，且非負，則級數Σf（n） 與無窮積分∫f（x）dx |1->+∞ ；該定理溝通了積分與級數的關係，其實來源於定積分的定義

對於正向級數判別法：還有柯西根植法（包括柯西根植法的極限形式），Alembert比值法 和 Raabe判別法

第3節：一般項級數

絕對收斂：Σ|an| 收斂，則Σan為絕對收斂

條件收斂： Σan收斂，但 Σ|an|發散，則稱Σan為條件收斂

定理：絕對收斂必收斂（簡記形式）

交錯數列：項是正負相間的

萊布尼茲級數：對於交錯級數，它的{an}單調遞減趨於零

收斂性判斷：萊布尼茲級數必收斂

還有迪利克雷判別法和阿貝爾判別法，都作為定理給出

第4節：絕對收斂和條件收斂的性質

收斂級數具有可具有可結合性

收斂級數的重排或者稱為交換性，絕對收斂的的重排也絕對收斂

黎曼定理：級數條件收斂，則存在序列{an}的一個重排{a`n} 使得Σa`n=A

級數的乘積：柯西定理：Σan；Σbn絕對收斂，且 Σan=A；Σbn=B；則任意方式排出的級數都是絕對收斂，且其和=AB