三國時期的數學家，東吳趙爽對數學的貢獻有哪些？

趙爽，字君卿，又被叫做趙嬰，乃是東漢末年至三國時代的吳國人，中國古代三國時期著名的東吳數學家，也是中國歷史上著名的天文學家。大約生活在公元3世紀初的時期，關於其具體生卒年限的歷史資料記載不詳，因而無從考證。

從現有的資料記載來看，趙爽在中國古代數學史所作出的重要貢獻是，大約在公元222年，對《周髀》進行了深入研究。這本書是中國天文史上最為古老的天文學著作，簡明扼要地總結提煉出中國古代勾股算術中最為深奧的原理。在唐朝初期的時候，《周髀》被改名為《周髀算經》，作了較為詳盡的註釋，並且該書增補了“序言”。

在這本書中，有一段五百三十多字的“勾股圓方圖”註文，就是中國數學史上極富價值的重要文獻。它將數學領域內的勾股定理簡明地表述為“勾股各自乘，並之，為弦實。開方除之，即弦”，並且較為詳細地解釋了《周髀算經》中的勾股定理。此外，趙爽還進行了對此創新，對此列出了新的證明公式，亦即“按弦圖，又可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股之差自相乘為中黃實，加差實，亦成弦實”。

這充分地證明了一點事實，趙爽已經找到了證明勾股定理的另一種有效的證明方法。另外，由於在乘除時應用了“齊同術”這一方法，趙爽還在“舊高圖論”中證明了重差術。

一、三國時期東吳趙爽的數學背景

據相關史料所載，趙爽曾經深刻研究過劉洪撰寫的《乾象曆》與著名天文學家張衡所作的天文學著作《靈憲》等重要著作，也曾經多次談及過“算術”之學。縱觀整個數學歷史長河，趙爽留給後世的數學思想及方法對中國古代整個數學體系的形成與發展具有重要作用，併產生了深遠影響。

在出入相補原理方面，也就是指某種圖形在經過一定的割補之後，其總面積會保持不變，這就是該原理的基本數學思想。在為《九章算術》進行註釋時，劉徽將其更為簡明地概括為“出入相補原理”，這正是後世數學領域內的人們所提出的“演段術”的重要基礎。

對此，趙爽在其有關注文中，還得出與韋達定理類似的結果，進一步研究了二次方程等問題，並得出了一個關於二次方程求根的公式，進一步證明了勾股形三邊及其之間和差關係的二十四個有關命題。

據說，趙爽本人是一個未脫離體力勞動的天算學家。趙爽曾經自己說，有段時間一邊在從事體力勞作的同時進行有關《周髀》的研究工作，為該書進行註解。在數學領域，通說認為，《周髀算經》大約成書於公元前100年左右，是一部引用勾股定理、分數運算等數學方法詮釋“蓋天說”的重要天文學著作。

無獨有偶，《九章算術》也是大約在這一時候成書的，著重探討了勾股定理和某些解勾股形問題。在《周髀算經注》一書中，趙爽對《周髀》的經文進行了逐段的解釋。在這其中，附錄於首章的勾股圓方圖最為精彩，區區五百餘字就高度精準地概括總結出自《九章算術》、《周髀算經》以來所有中國人取得的關於勾股算術的成就。

書中所列的那些公式大部分是與《九章算術》及“劉徽注”中所闡述的一致，其有關證明方法也是十分類似，但書中最後列明的兩個公式未被列在“劉徽注”中，公式所採用的術語也和“劉徽注”中的稍有不同。由此可知，這些算術知識為漢魏時期的數學家們共同的見識。

二、三國時期東吳趙爽的數學貢獻

作為一位博學多才的平民數學家，趙爽在註釋《周髀算經》的過程中提出了諸多重要的創見，也獲得了諸多重要的成就。概而言之，趙爽在數學上的貢獻主要表現在以下幾個方面：其一，奠定了重差術的理論基礎，這是中國傳統數學上計算廣遠、高深等問題的一種測量方法，還對測量日高的理論與方法進行了一定的創新；

其二，簡潔地證明了勾股定理，創造性地設計出了“弦圖”並且作了“勾股圓方圖注”，這是當時數學領域內的人們論證勾股定理時所必需的輔助工具；其三，用幾何方法發現列明瞭一元一次方程的一個求根公式，並論證了根與係數之間的重要關係。

在相當長的歷史時期內，中國數學處於世界數學的領先地位。數學之所以被廣泛應用，是因為數學是研究數量關係與空間形式的科學。中國傳統數學的體系是應用數學體系；中國傳統數學是以實用為目的的，理論密切聯絡實際，一直注重成果的廣泛應用於社會生產生活，其內容多來自生產生活實踐。

這都極大地推動了中國傳統數學的發展，並且使得中國傳統數學取得了諸多令世界矚目的成就。在中國傳統數學的薰陶之下，趙爽也在《周髀算經》的註文中充分說明了他的數學實用思想，論證了數學應用的價值及其廣泛性。

在《周髀算經》的註釋中，趙爽指出：為了解決實際問題，憑藉著考察圖形中數理關係和數學運算，可以得到人們所需要的確定數值。以直觀之形闡釋數的演算法，將數形統一。實際上，數與形並不是互相割裂的兩種事物，數與形的統一是必然現象。作為農業古國，開挖水渠、修築城牆、儲藏糧食、丈量田地等，都需要關於面積體積等的大量運算。

自古以來，中國傳統數學就擅長於數量運算，久而久之就自然而然地習慣用代數方法去解幾何問題。在度量長度、面積與體積的過程中，數與形就已經被聯絡統一起來了。趙爽在《周髀算經》的註釋中也充分論述了數形相統一的數學思想。

在《周髀算經》註文中，趙爽清楚地寫道：夏禹採用疏通河道的辦法治水，使河水不致氾濫、溺斃人畜而直接流入東海，解除百姓厄運，消除了水災。要疏通河道，自然而然就需要進行測量，定高下之勢，望山川之形。

正是應這種水利工程之需，勾股定理產生了。恩格斯也曾深刻指出，數學是從人們的現實生活生產需要中產生出來的，是從計算時間、測量容積、丈量土地、製造器皿等中形成的。這一觀點與古希臘歐第姆斯關於幾何學產生於上地測量的觀點是一致的。

三、趙爽將數學與辨證思想聯絡起來

在趙爽看來，數學是在改造客觀世界的實踐活動與人類目的性活動中產生的。無論是在自然世界還是在人類社會中，一切客觀事物都處於運動變化之中。在這一過程中，即便事物的有些性質能夠保持相對穩定而不改變，但事物大多數性質一定會改變。這就是我們哲學中通常所說的“變中有不變，變與不變有機統一”。

這就是說，在事物變化之時，事物同時保持相對的穩定性，數學家們必須善於抓住事物的“變中有不變”的特性。在論證“勾股定理”時，趙爽嚴格而巧妙地透過割補圖形，使得形體雖殊異，但數量仍相同，圖形的總面積保持了不變。也就是說，將一個整體分成若干部分，再拼補在一起，形成另一個與之等級的新物體。

這個思想對中國古代幾何證明方法產生了深刻影響，充分展現出“變中有不變”的辯證思想在數學研究中，趙爽將邏輯學上的歸納與演繹有機地統一了起來，將其緊密地結合在了一起。在對《周髀算經》的註解過程中，趙爽寫明瞭關於“勾股定理”的一般形式，亦即“勾股各自乘，之為弦實，開方除之即弦”。此處，從特殊到一般的歸納法就被有效地運用了。

要證明一項公式的正確性和數學命題的真實性，必須藉助演繹推理的方法去進行驗證。譬如，在《勾股圓方圖注》中，趙爽就是充分運用了演繹推理的方法。在《周髀算經》的註釋中，趙爽認為，在數學的王國中，事物是一個不斷被從個別或特殊到一般的思維過程所取代，被不斷地進行著歸納的過程；與此同時，從一般數學原理推出個別或特殊數學現象或結果的演繹思維過程也在進行著。

總結

趙爽，三國時期著名的數學家。趙爽在數學上的貢獻表現在三大方面：一是列出了一元一次方程的一個求根公式，以及由此證明了根與係數之間存在的關係；二是奠定了重差術的理論基礎；三是提出了一種勾股定理簡潔的證明方法。由此可見，無論具體演算方法還是數學思想方面，趙爽對中國傳統數學發展都作出了重要貢獻，在世界數學領域具有崇高地位。

參考文獻：《勾股圓方圖注》、《周髀算經》